算法设计与分析——分治法解棋盘覆盖问题

Description

在一个2^k x 2^k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

Input

k，dr，dc。k定义如前，dr，dc分别表示特殊方格所在的行号和列号 1= < k < =6

Output

按照左上，右上，左下，右下的顺序用分治法求解。特殊方格标0，其他位置按上述顺序依次标记。

Sample Input

2 1 1

Sample Output

2 2 3 3 
2 0 1 3 
4 1 1 5 
4 4 5 5 


分析：

当k>0时，将2k×2k棋盘分割为4个2k-1×2k-1 子棋盘(a)所示。
特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如 (b)所示，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。
递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘1×1。 

这道题其实最应该注意的是棋盘的规模是2^k×2^k，这个数是4的倍数，这样也就为原棋盘划分为四个等大的子棋盘提供了可能 ，之后的子棋盘也是4的倍数，这样就能够一直划分下去，直到找到那个特殊方格。为了找那个特殊方格，每一个子棋盘都贡献出了一个方格组成了一个L型骨牌与交汇处，子棋盘接着递归的使用这种分隔。

tr，tc的初始值为0,0

dr，dc分别表示特殊方格所在的行号和列号

import java.util.*;
import java.math.*;
public class Main
{
    static int tile = 0;
    public static int[][] board = new int [150][150];

    public void chessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size)
    {
        if(size==1)
        {
            return ;
        }
        int t=++tile;//L型骨牌编号
        int s=size/2;//分割棋盘
        //覆盖左上角的棋盘
        if(dr<tr+s&&dc<tc+s)
        {
            //特殊方格在此棋盘中
            chessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
        }
        else
        {
            //此棋盘中无特殊方格
            //用t号L型方格覆盖右下角
            board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
            chessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
        }
        //覆盖右上角子棋盘
        if(dr<tr+s&&dc>=tc+s)
        {
            chessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
        }
        else
        {
            //此棋盘中无特殊方格
            //用t号L型方格覆盖左下角
            board[tr+s-1][tc+s]=t;
            chessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
        }
        //覆盖左下角子棋盘
        if(dr>=tr+s&&dc<tc+s)
        {
            chessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);
        }
        else
        {
            //此棋盘中无特殊方格
            //用t号L型方格覆盖右上角
            board[tr+s][tc+s-1]=t;
            chessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
        }
        //覆盖右下角子棋盘
        if(dr>=tr+s&&dc>=tc+s)
        {
            chessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
        }
        else
        {
            //此棋盘中无特殊方格
            //用t号L型方格覆盖左上角
            board[tr+s][tc+s]=t;
            chessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
        }
    }

    public static void main(String args[])
    {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int k,tr,tc,dc,dr;
        k = cin.nextInt();
        dr = cin.nextInt();
        dc = cin.nextInt();
        int size = (int)Math.pow(2,k);
        Main ch = new Main();
        ch.chessBoard(0,0,dr,dc,size);
        for(int i = 0; i < size; i++)
        {
            for(int j = 0; j < size; j++)
            {
                System.out.print(board[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

 关于参数的说明：

 关于时间复杂度：