算法设计与分析——多边形游戏（动态规划）

一、问题描述

多边形游戏是一个单人玩的游戏，开始时有一个由n个顶点构成的多边形。每个顶点被赋予一个整数值，每条边被赋予一个运算符“+”或“*”。所有边依次用整数从1到n编号。

　　游戏第1步，将一条边删除。

　　随后n-1步按以下方式操作：

　　(1)选择一条边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2；

　　(2)用一个新的顶点取代边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2。将由顶点V1和V2的整数值通过边E上的运算得到的结果赋予新顶点。

　　最后，所有边都被删除，游戏结束。游戏的得分就是所剩顶点上的整数值。

　　问题:对于给定的多边形，计算最高得分。

如下图：

其实该问题与之前讨论过的凸多边形最优三角剖分问题是类似的，但二者的最优子结构性质却不同。多边形游戏问题的最优子结构性质更具有一般性。

二、算法思路

1、最优子结构性质

设所给的多边形的顶点和边的顺时针序列为op[1],v[1],op[2],v[2],op[3],…,op[n],v[n] 其中，op[i]表示第i条边所对应的运算符，v[i]表示第i个顶点上的数值，i=1~n。
       在所给的多边形中，从顶点i（1<=i<=n）开始，长度为j（链中有j个顶点）的顺时针链p(i,j）可表示为v[i],op[i+1],…,v[i+j-1]，如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生（1<=s<=j-1），则可在op[i+s]处将链分割为两个子链p(i,s)和p(i+s,j-s)。
    设m[i,j,0]是链p(i,j)合并的最小值，而m[i,j,1]是最大值。若最优合并在op[i+s]处将p(i,j)分为两个长度小于j的子链的最大值和最小值均已计算出。即：
    a=m[i,s,0]  b=m[i,s,1]  c=m[i+s,j-s,0]  d=m[i+s,j-s,1]

   (1) 当op[i+s]=’+’时
    m[i,j,0]=a+c ；m[i,j,1]=b+d

   该链的最优性由子链的最优性决定，最大值对应于子链的最大值，最小值对应于子链的最小值。

   (2) 当op[i+s]=’*’时
    m[i,j,0]=min{ac,ad,bc,bd} ； m[i,j,1]=max{ac,ad,bc,bd}
   由于v[i]可能取负数，子链的最大值相乘未必能得到主链的最大值，但是注意到，主链的最大值和最小值可以由子链的最大最小值得到。

    由于最优断开位置s有1<=s<=j-1的j-1中情况。 初始边界值为 m[i,1,0]=v[i]   1<=i<=n m[i,1,1]=v[i]   1<=i<=n

2、递归求解

可以得到递归表达式，将p(i,j)在op[i+s]处断开的最大值记为maxf(i,j,s)，最小值记为minf(i,j,s)则：

因为多变形式封闭的，在上面的计算中，当i+s>n时，顶点i+s实际编号为(i+s)mod n。按上述递推式计算出的m[i,n,1]记为游戏首次删除第i条边后得到的最大得分。

3、算法描述

void MinMax(int n,int i,int s,int j,int &minf,int &maxf)
{
    int e[5];
    int a=m[i][s][0],b=m[i][s][1];
    int r=(i+s-1)%n+1;//多边形的实际顶点编号
    int c=m[r][j-s][0],d=m[r][j-s][1];

    if(op[r]=='t')
    {
        minf=a+c;
        maxf=b+d;
    }
    else
    {
        e[1]=a*c;
        e[2]=a*d;
        e[3]=b*c;
        e[4]=d*b;
        minf=e[1];
        maxf=e[1];
        for(int r=2; r<5; r++)
        {
            if(minf>e[r])
                minf=e[r];
            if(maxf<e[r])
                maxf=e[r];
        }
    }
}

int PloyMax(int n,int& p)
{
    int minf,maxf;
    for(int j=2; j<=n; j++) //迭代链的长度
    {
        for(int i=1; i<=n; i++) //迭代首次删掉第i条边
        {
            for(int s=1 ; s<j; s++) //迭代断开位置
            {
                MinMax(n,i,s,j,minf,maxf);
                if(m[i][j][0]>minf)
                    m[i][j][0]=minf;
                if(m[i][j][1]<maxf)
                    m[i][j][1]=maxf;
            }
        }
    }

    int temp=m[1][n][1];
    p=1;
    for(int i=2 ; i<=n; i++)
    {
        if(temp<m[i][n][1])
        {
            temp=m[i][n][1];
            p=i;
        }
    }
    return temp;
}

4、计算复杂性分析

与凸多边形最优三角剖分问题类似，上述算法需要O（n³）计算时间。

5、例题

POJ1197

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX 200
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;

int m[MAX+1][MAX+1][2];
int v[MAX+1];
int out[MAX+1];
char op[MAX+1];
int ans=-INF;
int minf,maxf;
int n;
void MinMax(int i,int s,int j)
{
    int e[5];
    int a=m[i][s][0];
    int b=m[i][s][1];
    int r=(i+s-1)%n+1;//多边形的实际顶点编号
    int c=m[r][j-s][0];
    int d=m[r][j-s][1];
    if(op[r]=='t')
    {
        minf=a+c;
        maxf=b+d;
    }
    else
    {
        e[1]=a*c;
        e[2]=a*d;
        e[3]=b*c;
        e[4]=d*b;
        minf=e[1];
        maxf=e[1];
        for(int k=2; k<5; k++)
        {
            maxf=max(maxf,e[k]);
            minf=min(minf,e[k]);
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    getchar();
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%c %d",&op[i],&v[i]);
        m[i][1][1]=v[i];
        m[i][1][0]=v[i];
        getchar();
    }
    for(int j=2; j<=n; j++)//迭代链的长度
    {
        for(int i=1; i<=n; i++) //迭代首次删掉的边
        {
            for(int s=1; s<j; s++) //迭代断开位置
            {
                MinMax(i,s,j);
                if(s==1)
                {
                    m[i][j][0]=minf;
                    m[i][j][1]=maxf;
                }
                else
                {
                    m[i][j][1]=max(maxf,m[i][j][1]);
                    m[i][j][0]=min(minf,m[i][j][0]);
                }
            }

        }
    }
    int i;
    int cnt=0;
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        if(m[i][n][1]>ans)
        {
            ans=m[i][n][1];
        }
    }
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        if(m[i][n][1]==ans)
        {
            cnt++;
            out[cnt]=i;
        }
    }
    printf("%d
",ans);
    for(i=1; i<cnt; i++)
    {
        printf("%d ",out[i]);
    }
    printf("%d
",out[i]);
    return 0;
}

 再附上几组数据，方便调试：

5
x 2 x 3 t 1 t 7 x 4

224
4


5
x -3 t -1 t -7 t -4 x -2

30
1 5


3
t 0 x 1 t -2

0
1


30
x 1 t 1 x 1 t 1 t 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 t 1 t 1 x 1 t 1 x 1 x 1 t 1 x 1 x 1 t 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 t 1 x 1 x 1 x 1

288
1 3 6 7 8 9 10 11 14 16 17 19 20 22 23 24 25 26 28 29 30


48
x 1 x 2 x 1 x -1 t 1 x -1 x -1 x 1 t 1 t -1 x 1 t 2 x 1 x 2 t 1 x 1 x -1 x -2 x 1 x 1 t 1 x 1 t 1 x 1 x 1 x 1 t 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x -1 t 1 x 1 x -1 x -1 t 1 x 1 t 1 x 1 x 1 x -1 t 1 t -1 t -1 x 1

23328
45