1.Dijkstra的局限性
Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。
列如以下这个例子：
在这个图中，求从A到C的最短路，如果用Dijkstra根据贪心的思想，选择与A最接近的点C，长度为7，以后不再变化。但是很明显此图最短路为5。归结原因是Dijkstra采用贪心思想，不从整体考虑结果，只从当前情况考虑选择最优。
2.Bellman-Ford算法的引入
为了能够解决边上带有负权值的单源最短路问题，Bellman（贝尔曼）和Ford（福特）提出了从源点逐次途径其他顶点，以缩短达到终点的最短路径长度的问题。该算法有一个限制条件：要求图中不能包含权值总和为负值的回路。
3.适用条件与范围：
单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
4.思想：
我们规定节点都有一个key值，key值记录的是开始节点到本节点的最小距离，每个节点也都有一个p指针指向他的前驱节点。这里我们规定一个操作叫做松弛操作，我们的算法也是最终基于这个操作的。松弛操作就是去更新key的值。
节点B的key值为8,表示从开始节点到B节点之前的最短估计距离是8，而节点A的key值3，是说从开始节点到A节点最短估计是3，当我们发现这个边时，从A到B的距离比较近，所以我们去更新B的key值，同时把B的前驱节点设置成A。这个过程就是松弛操作。
我们说的Bellman-Ford算法是最简单的算法，就是从开始节点开始循环每一条边，对他进行松弛操作。最后得到的路径就是最短路径。
5.算法步骤：
1.初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ← +∞, d[s] ←0;
2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）
3.检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。
代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 using namespace std; 4 #define MAX 0x3f3f3f3f 5 #define N 1010 6 int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点 7 typedef struct Edge //边 8 { 9 int u, v; 10 int cost; 11 } Edge; 12 Edge edge[N]; 13 int dis[N], pre[N]; 14 bool Bellman_Ford() 15 { 16 int ok; 17 for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化，起点本身赋值为0，其余赋值为最大 18 dis[i] = (i == original ? 0 : MAX); 19 for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i) 20 { 21 ok=1; 22 for(int j = 1; j <= edgenum; ++j) 23 if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反） 24 { 25 dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost; 26 pre[edge[j].v] = edge[j].u;//这里用来存储路径 27 ok=0; 28 } 29 if(ok==1) //优化这里，如果这趟没跟新任何节点就可以直接退出了。 30 break; 31 } 32 bool flag = 1; //判断是否含有负权回路 33 for(int i = 1; i <= edgenum; ++i) 34 if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost) 35 { 36 flag = 0; 37 break; 38 } 39 return flag; 40 } 41 42 void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向） 43 { 44 while(root != pre[root]) //前驱 45 { 46 printf("%d-->", root); 47 root = pre[root]; 48 } 49 if(root == pre[root]) 50 printf("%d ", root); 51 } 52 53 int main() 54 { 55 scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);//输入点边起点，一般起点规定为1 56 pre[original] = original;//为了输出最短路用的，前驱为本身 57 for(int i = 1; i <= edgenum; ++i) 58 { 59 scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);//有向图 60 } 61 if(Bellman_Ford())//如果没有负权 62 for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路 63 { 64 printf("%d ", dis[i]); 65 printf("Path:"); 66 print_path(i); 67 } 68 else 69 printf("have negative circle "); 70 return 0; 71 }