欧拉回路基本概念+判断+求解

1.定义

如果图G（有向图或者无向图）中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的通路称作欧拉通路。

如果图G中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的回路称作欧拉回路。

具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

2. 定理及推论

欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的，请看下面的定理及推论。

无向图G存在欧拉通路的充要条件是：

G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。

推论1：

1) 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点。
2) 当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。
3) G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为无奇度结点的连通图。

有向图D存在欧拉通路的充要条件是：

D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1。

推论2：
1) 当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
2) 当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。
3) 有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。

 

3.欧拉通路回路存在的判断

根据定理和推论，我们可以很好的找到欧拉通路回路的判断方法，定理和推论是来自离散数学的内容，这里就给出简明的判断方法：

A.判断欧拉通路是否存在的方法

有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。

无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

B.判断欧拉回路是否存在的方法

有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。

无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

4.欧拉回路的应用

A.哥尼斯堡七桥问题

B.一笔画问题

C.旋转鼓轮的设计

5.欧拉回路的求解

A.  DFS搜索求解欧拉回路

基本思路：利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉回路或欧拉通路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS算法遍历所有的边（每一条边只遍历一次），遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

#include<cstdio>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAX 2010
using namespace std;
int maps[MAX][MAX];
int in[MAX];
int t[MAX];
int flag;
int k;
int Max,Min;
int DFS(int x)
{
    int i;
    for(i=Min;i<=Max;i++)
    {
        if(maps[x][i])///从任意一个与它相连的点出发
        {
            maps[x][i]--;///删去遍历完的边
            maps[i][x]--;
            DFS(i);
        }
    }
    t[++k]=x;///记录路径，因为是递归所有倒着记
}
int main()
{
    int n,i,x,y;
    Max=-9999;
    Min=9999;
    flag=0;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        maps[x][y]++;
        maps[y][x]++;
        Max=max(x,max(y,Max));
        Min=min(x,min(y,Min));
        in[x]++;
        in[y]++;
    }
    for(i=Min;i<=Max;i++)
    {
        if(in[i]%2)///存在奇度点，说明是欧拉通路
        {
            flag=1;
            DFS(i);
            break;
        }
    }
    if(!flag)///全为偶度点，从标号最小的开始找
    {
        DFS(Min);
    }
    for(i=k;i>=1;i--)
    {
        printf("%d
",t[i]);
    }
    return 0;
}

B.  Fleury(佛罗莱)算法

Fleury算法是对DFS爆搜的一种改进，使用DFS漫不经心的随意走是效率不高的，Fleury是一种有效的算法。

关键是能不走桥就不去走桥，实在无路可走了才去走桥！！！

#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int ans[200];
int top;
int N,M;
int mp[200][200];
void dfs(int x)
{
    int i;
    top++;
    ans[top]=x;
    for (i=1; i<=N; i++)
    {
        if(mp[x][i]>0)
        {
            mp[x][i]=mp[i][x]=0;///删除此边
            dfs(i);
            break;
        }
    }
}

void fleury(int x)
{
    int brige,i;
    top=1;
    ans[top]=x;///将起点放入Euler路径中
    while(top>=0)
    {
        brige=0;
        for (i=1; i<=N; i++) /// 试图搜索一条边不是割边（桥）
        {
            if(mp[ans[top]][i]>0)///存在一条可以扩展的边
            {
                brige=1;
                break;
            }
        }
        if (!brige)/// 如果没有点可以扩展，输出并出栈
        {
            printf("%d ", ans[top]);
            top--;
        }
        else     /// 否则继续搜索欧拉路径
        {
            top--;///为了回溯
            dfs(ans[top+1]);
        }
    }
}

int main()
{
    int x,y,deg,num,start,i,j;
    scanf("%d%d",&N,&M);
    memset(mp,0,sizeof (mp));
    for(i=1;i<=M; i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        mp[x][y]=1;
        mp[y][x]=1;
    }
    num=0;
    start=1;///这里初始化为1
    for(i=1; i<=N; i++)
    {
        deg=0;
        for(j=1; j<=N; j++)
        {
            deg+=mp[i][j];
        }
        if(deg%2==1)///奇度顶点
        {
            start=i;
            num++;
        }
    }
    if(num==0||num==2)
    {
        fleury(start);
    }
    else
    {
        puts("No Euler path");
    }
    return 0;
}