生成函数学习笔记

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生成函数

二项式系数(组合数)

(displaystyle C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!})

(n in R,m in N)时广义二项式定理系数

(displaystyle C_n^m=frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m!})

广义二项式定理(a 不一定是整数)

(displaystyle (1+x)^a=sum_{i=0}^{infty}C_a^ix^i)

关于二项式的恒等式

(C_n^m=C_n^{n-m})

多项式求导

(displaystyle (x^a)'=ax^{a-1})

多项式积分

(displaystyle int x^adx=frac{x^{a+1}}{a+1})

一般生成函数(OGF)(转载 铃悬)

[displaystyle sum_{ngeq0}[n=m]x^n=x^m\ displaystyle sum_{ngeq0}x^n=frac{1}{1-x}\ displaystyle sum_{ngeq0}(-1)^{n}x^n=frac{1}{1+x}\ displaystyle sum_{ngeq0}^mx^n=frac{1-x^{m+1}}{1-x}\ displaystyle sum_{ngeq m}x^m=frac{x^m}{1-x}\ displaystyle sum_{ngeq0}c^nx^n=frac{1}{1-cx}\ displaystyle sum_{ngeq0}nx^n=frac{1}{(1-x)^2}\ displaystyle sum_{ngeq0}C_{n+k-1}^{n}x^n=frac{1}{(1-x)^k}\ displaystyle sum_{ngeq0}x^{nk}=frac{1}{1-x^k}\ displaystyle sum_{ngeq0}frac{x^n}{n!}=e^{x}\ displaystyle sum_{ngeq0}frac{c^nx^n}{n!}=e^{cx}\ displaystyle sum_{ngeq0}frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n=ln(1+x)\ displaystyle sum_{ngeq0}frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{kn}=ln(1+x^k)\ displaystyle sum_{ngeq0}frac{1}{n}x^n=lnfrac{1}{1-x}\ displaystyle sum_{ngeq0}frac{1}{n}x^{kn}=lnfrac{1}{1-x^k} ]

前缀和 生成函数乘上(displaystyle sum_{i=0}^{infty}x^i=(1-x)^{-1})

差分 生成函数乘上((1-x))

指数生成函数(EGF)