狄利克雷卷积
(spacespacespacespacespacespace)定义:两个数论函数f和g的卷积为((f*g)(n)=sum_{d|n} f(d)⋅g(frac{n}{d}))。前面的括号代表将f卷g，后面的括号代表范围。
(spacespacespacespacespacespace)元函数(ϵ):满足：(f∗ϵ=f)。
莫比乌斯函数
(spacespacespacespacespacespace)莫比乌斯函数(mu)满足(sum_{d|n}μ(d)=[n=1]),我们用狄利克雷卷积来表示(μ∗I=ϵ)
欧拉函数
(spacespacespacespacespacespace)欧拉函数有一个性质(sum_{d|n}φ(d)=n),我们用狄利克雷卷积来表示(φ∗I=id)
莫比乌斯函数与欧拉函数的关系
(φ∗I=id)
(→φ∗I∗μ=id∗μ)
(→φ∗ϵ=id∗μ)
(→φ=id∗μ)
(→φ(n)=sum_{d|n}μ(d)frac nd)
我们把这个式子的两边同时除以n，则：
(frac {φ(n)}{n}=sum_{d|n} frac{μ(d)}{d})
杜教筛
杜教筛是用低于线性的复杂度来求(sum_{i=1}^{n}f(i))
我们首先构造两个函数(g),(h)，使其满足(h=f*g)
现在我们求(sum_{i=1}^{n}h(i))
(sum_{i=1}^{n}h(i)=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}g(d)⋅f(frac{i}{d}))
(=sum_{d=1}^{n}g(d)⋅sum_{i=1}^{⌊nd⌋}f(i))
(sum_{i=1}^{n}h(i)=sum_{d=1}^{n}g(d)⋅S(⌊nd⌋))
我们将右边式子的第一项给提出
(sum_{i=1}^{n}h(i)=g(1)⋅S(n)+sum_{d=2}^{n}g(d)⋅S(⌊nd⌋))
即(g(1)S(n)=sum_{i=1}^{n}h(i)−sum_{d=2}^{n}g(d)⋅S(⌊nd⌋))
其中(h(i)=(f∗g)(i))
根据这个式子，我们只要(h(i))的前缀和很好求，就可以对后面的式子用整除分块在(O(n^{frac{2}{3}}))的时间内快速求解