[BZOJ3150][Ctsc2013]猴子 期望dp+高斯消元

3150: [Ctsc2013]猴子

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Description

小Q和小M最近发明了一种卡牌游戏，叫猴子大战。游戏最初小Q和小M各会取得一部分猴子牌。每局游戏，他们两个

需要分别等概率地从自己的猴子牌中抽取一张进行战斗。获胜的一方将获得双方的猴子牌。如果一方获得了所有的

猴子牌，则该方获得整场游戏的胜利。否则游戏将一直进行下去。 在进行了若干场比赛以后，小Q和小M算出了一

张胜率表，为每张猴子牌之间进行战斗双方获胜的概率。由于每场战斗一定会决出胜负，而且胜率不受先后顺序的

影响，因此对于任意的两张猴子牌A和B，A战胜B的概率加B战胜A的概率为1。 由于自己老是输给小M，小Q开始怀疑

自己每次拿到的猴子牌是否能获得胜利。他希望求出自己拿到的每种猴子牌组合的获胜的概率。 由于小Q接下来还

有在CD市体育中心数以万计的运动计划，因此这个问题只能交给你来解决了。

Input

输入的第一行包含两个正整数n和m，表示猴子牌的总张数和需要求的猴子牌组合的个数。 

接下来有n行，每行包含n个实数，每个实数保留了两位小数。

这n行中，其中第i行第j列的数为Pi,j，表示第i张猴子牌战胜第j张猴子牌的概率。

保证Pi,j + Pj,i  =  1。特别地，Pi,j = 0.5，没有特殊意义。 最后又m行。

每行包含一个长度为n的无空格分隔的01串，表示一个猴子牌的组合。

其中第i个字符如果为0，表示最初第i张牌在小M处，否则表示在小Q处。

Output

输出m行，每行一个实数，四舍五入保留八位小数（请强制输出八位浮点数），

一次表示每个给定的猴子牌组合下小Q获胜的概率。

Sample Input

3 4
0.50 0.60 0.40
0.40 0.50 0.70
0.60 0.30 0.50
110
011
111
000

Sample Output

0.71304348
0.66086957
1.00000000
0.00000000

HINT

【评分方法】 

你的答案的每一行如果与我们给定的参考答案的差别均不超过2×10-6，则获得该测试点的得分，否则不得分。 

参考答案保证与真实值的差别不超过10-8，因此如果你输出的答案保证与真实值差别不超过2×10^-6 — 2×10^-8，才能保证正确。

Source

vfleaking提供spj

首先可以想到设f[S]表示手牌集合为S时的胜利期望。

这样显然是过不了的。

这时我们发现如果A∩B=ø则f[AυB]=f[A]+f[B]

因此我们可以设f[i]表示手牌为i的胜利期望。

运用高斯消元求解即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
double f[105][105],a[105][105];
int n,m;char s[105];
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<n;i++) {
        a[i][i]=1-n;
        for(int j=1;j<=n;j++) {
            double tmp;scanf("%lf",&tmp);
            if(i!=j) {
                a[i][j]=tmp;a[i][i]+=tmp;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        double tmp;scanf("%lf",&tmp);
        a[n][i]=1;
    }
    a[n][n+1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int tmp=i;
        for(int j=i;j<=n;j++) {
            if(fabs(a[j][i])>=1e-9) {tmp=j;break;}
        }
        if(tmp!=i) swap(a[tmp],a[i]);
        for(int j=i+1;j<=n;j++) {
            double chg=a[j][i]/a[i][i];
            for(int k=i;k<=n;k++) {
                a[j][k]-=a[i][k]*chg;
            }
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--) {
        for(int j=i+1;j<=n;j++) a[i][n+1]-=a[i][j]*a[j][n+1];
        a[i][n+1]/=a[i][i];
    }
    while(m--) {
        scanf("%s",s+1);double ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            if(s[i]=='1') ans+=a[i][n+1];
        }
        printf("%.8lf
",ans);
    }
}