[BZOJ1492] [NOI2007]货币兑换Cash 斜率优化+cdq/平衡树维护凸包

1492: [NOI2007]货币兑换Cash

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Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下

简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，

两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券和 B券的

价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法

。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将

OP% 的 A券和 OP% 的 B券以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑

换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接

下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：

假定在第一天时，用户手中有 100元人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：

注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经

知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能

够获得多少元钱。

Input

输入第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、B

K、RateK，意义如题目中所述。对于100%的测试数据，满足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤1

0^9。

【提示】

1.输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。

2.必然存在一种最优的买卖方案满足：

每次买进操作使用完所有的人民币；

每次卖出操作卖出所有的金券。

Output

只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

Source

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cmath>
 6 #include<algorithm>
 7 #define eps 1e-9
 8 #define maxn 120000
 9 #define inf 2147483647
10 using namespace std;
11 struct P {
12     double x,y;
13 }p[maxn],pp[maxn];
14 bool operator <(P t1,P t2){return (t1.x<t2.x+eps)||(fabs(t1.x-t2.x)<=eps&&t1.y<t2.y+eps);}
15 struct data {
16     double q,a,b,rate,k;
17     int pos;
18 }ask[maxn],askt[maxn];
19 int n;
20 double f[maxn];
21 bool cmp(data t1,data t2) {return t1.k<t2.k;}
22 double get(int i,int j) {
23     if(!i) return -inf;
24     if(!j) return inf;
25     if(fabs(p[i].x-p[j].x)<=eps) return -inf;
26     return (p[i].y-p[j].y)/(p[i].x-p[j].x);
27 }
28 int sta[maxn];
29 void cdq(int l,int r) {
30     if(l==r) {
31         f[l]=max(f[l-1],f[l]);
32         p[l].y=f[l]/(ask[l].a*ask[l].rate+ask[l].b);
33         p[l].x=p[l].y*ask[l].rate;
34         return;
35     }
36     int mid=l+r>>1,l1=l,l2=mid+1;
37     for(int i=l;i<=r;i++) 
38         if(ask[i].pos<=mid) askt[l1++]=ask[i];
39         else askt[l2++]=ask[i];
40     for(int i=l;i<=r;i++) ask[i]=askt[i];
41     cdq(l,mid);
42     int top=0;
43     for(int i=l;i<=mid;i++) {
44         while(top>=2&&get(i,sta[top])+eps>get(sta[top],sta[top-1])) top--;
45         sta[++top]=i;
46     }
47     int j=1;
48     for(int i=r;i>=mid+1;i--) {
49         while(j<top&&ask[i].k<get(sta[j],sta[j+1])+eps) j++;
50         f[ask[i].pos]=max(f[ask[i].pos],p[sta[j]].x*ask[i].a+p[sta[j]].y*ask[i].b);
51     }
52     cdq(mid+1,r);
53     l1=l,l2=mid+1;
54     for(int i=l;i<=r;i++) {
55         if((p[l1]<p[l2]||l2>r)&&l1<=mid) pp[i]=p[l1++];
56         else pp[i]=p[l2++];
57     }
58     for(int i=l;i<=r;i++) p[i]=pp[i];
59 }
60 int main() {
61     scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
62     for(int i=1;i<=n;i++) {
63         scanf("%lf%lf%lf",&ask[i].a,&ask[i].b,&ask[i].rate);
64         ask[i].k=-ask[i].a/ask[i].b;ask[i].pos=i;
65     }
66     sort(ask+1,ask+n+1,cmp);
67     cdq(1,n);
68     printf("%.3lf
",f[n]);
69 }

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