CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums 题解

CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums

借鉴了 大佬博客

求(n)个(1)和(m)个(-1)形成的所有序列的最大前缀和之和，(n,m leqslant 1e6)

设(f[i])表示最大前缀和正好等于i的序列的个数，则最后答案为 (sum_{i=1}^n i*f[i])，下面利用容斥来求(f[i]):

设(g[i])表示最大前缀和正好等于i的序列的个数,则 (f[i] = g[i+1]-g[i])

然后在坐标系上，(+1)向右 (-1)向上 每种序列看成一个从((0,0))到((n,m))的路径

要求最大前缀和大于等于(k)，即为 存在 (x-ygeqslant k) 的点
，则路径必须经过 (y=x-k)

即从((0,0))到((n,m))经过直线(y=x-k)的路径数即为(g[k])

将((0,0))关于 (y=x-k) 对称得到((k,-k))，则((k,-k))到((n,m))的路径数即为所求

得到(g[k]=(n+m,n-k-1))

则(f[k]=g[k+1]-g[k]=inom{n+m}{n-k}-inom{n+m}{n-k-1})

但是要注意(f,g)的定义：当(k leqslant n-m)时，最大前缀和不可能为(k)，(f[k])为(0)

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#include <cstring>
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#include <set>
using namespace std;

#define inf 0x3f3f3f3f
typedef long long LL;
#define cls(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define For(i,j,k) for(register int i=(j);i<=(k);++i)
#define Rep(i,j,k) for(register int i=(j);i>=(k);--i)
#define rint register int
#define il inline
il int read(int x=0,int f=1,char ch='0')
{
    while(!isdigit(ch=getchar())) if(ch=='-') f=-1;
    while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}

const int N=2e6+5,mod=998244853;
LL fac[N],ifac[N],ans;
il LL C(int n,int m) { return fac[n]*ifac[n-m]%mod*ifac[m]%mod; }
il LL qpow(LL a,LL b) { LL ret=1; for(;b;b>>=1) {if(b&1) ret=ret*a%mod; a=a*a%mod;} return ret; }
int n,m;

//inom{n+m}{n-k}-inom{n+m}{n-k-1}
int main()
{
	// freopen("maxpsum.in","r",stdin);
	// freopen("maxpsum.out","w",stdout);
    n=read(); m=read(); ans=n; fac[0]=ifac[0]=1; 
    For(i,1,n+m) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod; 
    ifac[n+m]=qpow(fac[n+m],mod-2); Rep(i,n+m-1,1) ifac[i]=1ll*(i+1)*ifac[i+1]%mod;
    For(i,max(n-m,0),n-1) ans=(ans+1ll*i*(C(n+m,n-i)-C(n+m,n-i-1)+mod)%mod)%mod;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}