基环树一统天下千秋万代

基环树，又称环套树，顾名思义，为树上多一条边，(n)个节点(n)条边。

(First)无论啥题，你基环树总得找环，不找环你玩啥呢……

我找到了三种方法找环，各有千秋，注释中有，就直接放上来了

//https://www.cnblogs.com/akura/p/10838613.html
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
    int f=1,w=0;char x=0;
    while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
    while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
    return w*f;
}
const int N=200010;
int n,num_edge,Cnt,Top,Time;
int head[N<<2],Cir[N],Dag[N],boki[N],Vis[N];
struct Edge{int next,to,dis;} edge[N<<2];
inline void Add(int from,int to,int dis)
{
    edge[++num_edge].next=head[from];
    edge[num_edge].dis=dis;
    edge[num_edge].to=to;
    head[from]=num_edge;
}
inline void Bfs_Find_Cir()//Bfs找环还是少用，它忽略了原本的树形结构，仅能找到环上的点（或者说环边不太好找）
{
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(Dag[i]==1) q.push(i);
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
        {
            Dag[edge[i].to]--;
            if(Dag[edge[i].to]==1) q.push(i);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) if(Dag[i]==2) Cir[++Cnt]=i,boki[i]=1;
}
int Ink[N],Stk[N];
inline void Dfs_For_Cir_Stk(int pos,int fth)//这是用栈实现的Dfs，但是重点是弹出操作，避免将非环点放入(针对有向图)
{
    Vis[pos]=1,Stk[++Top]=pos;Ink[pos]=1;
    for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
		if(edge[i].to!=fth)
			if(Vis[edge[i].to])
			{
				if(Ink[edge[i].to])
				{
					for(int Now=Stk[Top];Now!=edge[i].to;Now=Stk[--Top])
						Cir[++Cnt]=Now,Ink[Now]=0;
					Cir[++Cnt]=edge[i].to;
				}
			}
			else Dfs_For_Cir_Stk(edge[i].to,pos);
    Ink[pos]=0,--Top;
}
int Dfn[N],fa[N];
inline void Dfs_For_Cir_Dfn(int pos,int fth)//这是用时间戳实现的Dfs（个人感觉这个更好一些，重点是用Dfn防止找两遍）
{
    Dfn[pos]=++Time;fa[pos]=fth;
    for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
		if(edge[i].to!=fth)
			if(Dfn[edge[i].to])
			{
				if(Dfn[edge[i].to]>Dfn[pos])
				{
					for(int Now=edge[i].to;Now!=pos;Now=fa[Now])
						Cir[++Cnt]=Now;
					Cir[++Cnt]=pos;
				}
			}
			else Dfs_For_Cir_Dfn(edge[i].to,pos);
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("A.in","r",stdin);
    //freopen("B.in","r",stdin);
#endif
    n=read();
    for(int i=1,u,v,d;i<=n;i++)
    {
        u=read(),v=read(),d=read();
        Add(u,v,d),Add(v,u,d);Dag[v]++,Dag[u]++;
    }
	Bfs_Find_Cir(); for(int i=1;i<=Cnt;i++) printf("%d",Cir[i]);
}

例题：(IOI2008Island)

思路很好想，找环，断环为链，单调队列维护最大值。

实现细节有点繁琐，还有一个双倍经验（(IOI)的是基环树森林，此题是基环树）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read()
{
    int f=1,w=0;char x=0;
    while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
    while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
    return w*f;
}
const int N=1000010;
int Max1,Max2,Cnt;
int num_edge,n,Tim,ans;
pair<int,int> Cir[N<<1];
int head[N<<1],Dep[N],Used[N];
int Vis[N],Id[N],fa[N],Dfn[N],Sum[N<<1];
struct Edge{int next,to,dis;} edge[N<<1];
inline int C(int i) {return Cir[i].first;}
inline void Add(int from,int to,int dis)
{
	edge[++num_edge].next=head[from];
	edge[num_edge].dis=dis;
	edge[num_edge].to=to;
	head[from]=num_edge;
}
inline void Dfs_For_Cir_Dfn(int pos,int fth,int lid)
{
	Dfn[pos]=++Tim,fa[pos]=fth,Id[pos]=lid;
	for(int i=head[pos];i&&!Cnt;i=edge[i].next)
		if(edge[i].to!=fth)
		{
			if(Dfn[edge[i].to])
			{
				if(Dfn[edge[i].to]>Dfn[pos])
				{
					for(int Now=edge[i].to;Now!=pos;Now=fa[Now])
						Cir[++Cnt]=make_pair(Now,edge[Id[Now]].dis),Vis[Now]=1;
					Cir[++Cnt]=make_pair(pos,edge[i].dis),Vis[pos]=1;return ;
				}
			}
			else Dfs_For_Cir_Dfn(edge[i].to,pos,i);
		}
}
inline void Dfs_For_Dep(int pos,int fth)
{
	Used[pos]=1;
	for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
		if(edge[i].to!=fth&&!Vis[edge[i].to])
		{
			Dfs_For_Dep(edge[i].to,pos);
			Max1=max(Max1,Dep[pos]+Dep[edge[i].to]+edge[i].dis);
			Dep[pos]=max(Dep[pos],Dep[edge[i].to]+edge[i].dis);
		}
}
main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("A.in","r",stdin);
#endif
	n=read();
	for(int i=1,x,d;i<=n;i++)
		x=read(),d=read(),Add(i,x,d),Add(x,i,d);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!Used[i])
		{
			deque<int> q;Max1=Max2=0;
			Cnt=0;Dfs_For_Cir_Dfn(i,0,0);
			for(int j=1;j<=Cnt;j++) Dfs_For_Dep(Cir[j].first,0),Cir[j+Cnt]=Cir[j];
            /*有点奇怪的前缀和*/
			for(int j=1;j<=(Cnt<<1);j++) Sum[j]=Sum[j-1]+Cir[j-1].second;
            /*单调队列出一定要注意在队中的到底是什么*/
			for(int j=1;j<=(Cnt<<1);j++)
			{
				while(q.size()&&(j-q.front())>=Cnt) q.pop_front();
				if(q.size()) Max2=max(Max2,Dep[C(j)]+Dep[C(q.front())]+Sum[j]-Sum[q.front()]);
				while(q.size()&&Dep[C(q.back())]-Sum[q.back()]<=Dep[C(j)]-Sum[j]) q.pop_back();
				q.push_back(j);
			}
			ans+=max(Max1,Max2);
		}
	printf("%lld",ans);
}

例题：(NOI2012)迷失游乐园

换根(DP+)基环树，思路不难，要考虑的东西很多，因为我直接在环上跑编号，所以细节更多。。。

一篇很清晰的题解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
    int f=1,w=0;char x=0;
    while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
    while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
    return w*f;
}
const int N=100010,M=30;
pair<int,int> Cir[N];
int num_edge,n,m,Tim,Cnt;
int Id[N],Dfn[N],Nex[N],Tag[N];
double Up[N],Down[N],ans[N],Dis[M][M],Ans;
int head[N<<1],Son[N],Vis[N],fa[N];
struct Edge{int next,to,dis;} edge[N<<1];
inline void Add(int from,int to,int dis)
{
	edge[++num_edge].next=head[from];
	edge[num_edge].dis=dis;
	edge[num_edge].to=to;
	head[from]=num_edge;
}
inline void Dfs_For_Tree_Down(int pos,int fth)
{
	for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
		if(edge[i].to!=fth&&!Vis[edge[i].to])
			Dfs_For_Tree_Down(edge[i].to,pos),Son[pos]++;
	for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
		if(edge[i].to!=fth&&!Vis[edge[i].to])
			Down[pos]+=Down[edge[i].to]+edge[i].dis*1.0;
	if(Son[pos]) Down[pos]=Down[pos]/(Son[pos]*1.0);
}
inline void Dfs_For_Tree_Up(int pos,int fth,double dis)
{
	if(m==n-1)
	{
		if(Son[fth]&&fth!=1)
			Up[pos]=(Up[fth]+Down[fth]*Son[fth]-Down[pos]-dis)/Son[fth]+dis;
		else if(fth==1&&Son[fth]>1)
			Up[pos]=(Up[fth]+Down[fth]*Son[fth]-Down[pos]-dis)/(Son[fth]-1)+dis;
		else if(fth==1&&Son[fth]==1) Up[pos]=dis;
		if(pos!=1) ans[pos]=(Down[pos]*Son[pos]+Up[pos])/(Son[pos]+1);
		else ans[pos]=Down[pos];
	}
	else
	{
		if(Son[fth]&&!Vis[fth])
			Up[pos]=(Up[fth]+Down[fth]*Son[fth]-Down[pos]-dis)/Son[fth]+dis;
		else if(Vis[fth])
			Up[pos]=(Up[fth]*2+Down[fth]*Son[fth]-Down[pos]-dis)/(Son[fth]+1)+dis;
		ans[pos]=(Up[pos]+Down[pos]*Son[pos])/(1+Son[pos]);
	}
	for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
		if(edge[i].to!=fth&&!Vis[edge[i].to])
		   Dfs_For_Tree_Up(edge[i].to,pos,edge[i].dis*1.0);
}
inline void Find_Dia(int pos,int fth,int lid)
{
	Dfn[pos]=++Tim;fa[pos]=fth,Id[pos]=lid;
	for(int i=head[pos];i&&!Cnt;i=edge[i].next)
		if(edge[i].to!=fth)
		{
			if(Dfn[edge[i].to])
			{
				if(Dfn[edge[i].to]>Dfn[pos])
				{
					for(int Now=edge[i].to;Now!=pos;Now=fa[Now])
					{
						Cir[++Cnt]=make_pair(Now,edge[Id[Now]].dis);
						Vis[Now]=1,Tag[Now]=Cnt;
					}
					Cir[++Cnt]=make_pair(pos,edge[i].dis);
					Vis[pos]=1,Tag[pos]=Cnt;
				}
			}else Find_Dia(edge[i].to,pos,i);
		}
}
inline void Work(int Root)
{
	Find_Dia(Root,0,0);
	for(int i=1;i<=Cnt;i++) Dfs_For_Tree_Down(Cir[i].first,0);
	for(int i=1;i<=Cnt;i++)
	{
		if(i!=1) Dis[i-1][i]=Dis[i][i-1]=Cir[i-1].second*1.0;
		if(i!=Cnt) Dis[i][i+1]=Dis[i+1][i]=Cir[i].second*1.0;
	}
	Dis[1][Cnt]=Dis[Cnt][1]=Cir[Cnt].second*1.0;
	for(int i=1;i<=Cnt;i++)
	{
		int Now=Cir[i].first;double P=1.0;
		for(int j=i+1;j!=i;j++)
		{
			if(j>Cnt) j-=Cnt;if(j==i) break;
			int Pos=Cir[j].first;int w=Dis[j][!(j-1)?Cnt:j-1];
			if(j==(!(i-1)?Cnt:i-1)) Up[Now]+=P*(w+Down[Pos]);
			else Up[Now]+=P*(w*1.0+Down[Pos]*Son[Pos]/(Son[Pos]+1)*1.0);
			P/=Son[Pos]+1;
		}
		P=1.0;
		for(int j=i-1;j!=i;j--)
		{
			if(j<=0) j+=Cnt;if(j==i) break;
			int Pos=Cir[j].first;int w=Dis[j][(j+1)>Cnt?1:j+1];
			if(j==((i+1)>Cnt?1:i+1)) Up[Now]+=P*(w+Down[Pos]);
			else Up[Now]+=P*(w*1.0+Down[Pos]*Son[Pos]/(Son[Pos]+1)*1.0);
			P/=Son[Pos]+1;
		}
		Up[Now]/=2;
	}
	for(int i=1;i<=Cnt;i++)
		for(int j=head[Cir[i].first];j;j=edge[j].next)
			if(!Vis[edge[j].to])
				Dfs_For_Tree_Up(edge[j].to,Cir[i].first,edge[j].dis);
	for(int i=1;i<=Cnt;i++)
	{
		int pos=Cir[i].first;
		ans[pos]=(Up[pos]*2+Down[pos]*Son[pos])/(2+Son[pos]);
	}
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("A.in","r",stdin);
#endif
	n=read(),m=read();
	for(int i=1,u,v,d;i<=m;i++)
		u=read(),v=read(),d=read(),Add(u,v,d),Add(v,u,d);
	if(m==n) Work(1);
	else Dfs_For_Tree_Down(1,0),Dfs_For_Tree_Up(1,0,0);
	for(int i=1;i<=n;i++) Ans+=ans[i];printf("%.5lf",Ans/n*1.0);
}

这是个半成品，后面会补锅（也可能咕咕咕）