数据结构与算法简记--分治算法

分治算法（divide and conquer）

---

算法思想

• 核心思想：分而治之 ，将原问题划分成 n 个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。
• 适合用递归来实现。
• 分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样三个操作：
  • 分解：将原问题分解成一系列子问题；
  • 解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；
  • 合并：将子问题的结果合并成原问题。
• 分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：
  • 原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
  • 原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别；
  • 具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；
  • 可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

分治算法应用举例分析

• 求有(逆)序度：有 n 个数据，我们期望数据从小到大排列，那完全有序的数据的有序度就是 n(n-1)/2，逆序度等于 0；相反，倒序排列的数据的有序度就是 0，逆序度是 n(n-1)/2。除了这两种极端情况外，我们通过计算有序对或者逆序对的个数，来表示数据的有序度或逆序度。如何编程求出一组数据的有序对个数或者逆序对个数呢?
  • 套用分治的思想来求数组 A 的逆序对个数。我们可以将数组分成前后两半 A1 和 A2，分别计算 A1 和 A2 的逆序对个数 K1 和 K2，然后再计算 A1 与 A2 之间的逆序对个数 K3。那数组 A 的逆序对个数就等于 K1+K2+K3。
  • 利用归并排序算法在合并时计算逆序度
  • 

  • private int num = 0; // 全局变量或者成员变量
    
    public int count(int[] a, int n) {
      num = 0;
      mergeSortCounting(a, 0, n-1);
      return num;
    }
    
    private void mergeSortCounting(int[] a, int p, int r) {
      if (p >= r) return;
      int q = (p+r)/2;
      mergeSortCounting(a, p, q);
      mergeSortCounting(a, q+1, r);
      merge(a, p, q, r);
    }
    
    private void merge(int[] a, int p, int q, int r) {
      int i = p, j = q+1, k = 0;
      int[] tmp = new int[r-p+1];
      while (i<=q && j<=r) {
        if (a[i] <= a[j]) {
          tmp[k++] = a[i++];
        } else {
          num += (q-i+1); // 统计p-q之间，比a[j]大的元素个数
          tmp[k++] = a[j++];
        }
      }
      while (i <= q) { // 处理剩下的
        tmp[k++] = a[i++];
      }
      while (j <= r) { // 处理剩下的
        tmp[k++] = a[j++];
      }
      for (i = 0; i <= r-p; ++i) { // 从tmp拷贝回a
        a[p+i] = tmp[i];
      }
    }

分治思想在海量数据处理中的应用

• 给 10GB 的订单排序：
  • 先扫描一遍订单，根据订单的金额，将 10GB 的文件划分为几个金额区间。
  • 比如订单金额为 1 到 100 元的放到一个小文件，101 到 200 之间的放到另一个文件，以此类推。
  • 这样每个小文件都可以单独加载到内存排序，最后将这些有序的小文件合并，就是最终有序的 10GB 订单数据了。

振聋发聩

创新并非离我们很远，创新的源泉来自对事物本质的认识。无数优秀架构设计的思想来源都是基础的数据结构和算法，这本身就是算法的一个魅力所在。