回溯算法
如何理解
- 人的一生中，会遇到很多重要的岔路口。在岔路口上，每个选择都会影响我们今后的人生。有的人在每个岔路口都能做出最正确的选择，最后生活、事业都达到了一个很高的高度；而有的人一路选错，最后碌碌无为。如果人生可以量化，那如何才能在岔路口做出最正确的选择，让自己的人生“最优”呢？
- 每个岔路口都选择最优解的方式叫做贪心算法，这并不一定得到最优解。
- 回溯的处理思想，有点类似枚举搜索。我们枚举所有的解，找到满足期望的解。为了有规律地枚举所有可能的解，避免遗漏和重复，我们把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段，我们都会面对一个岔路口，我们先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时候（不符合期望的解），就回退到上一个岔路口，另选一种走法继续走。
- 八皇后问题：有一个 8x8 的棋盘，希望往里放 8 个棋子（皇后），每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。
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我们把这个问题划分成 8 个阶段，依次将 8 个棋子放到第一行、第二行、第三行……第八行。在放置的过程中，我们不停地检查当前的放法，是否满足要求。如果满足，则跳到下一行继续放置棋子；如果不满足，那就再换一种放法，继续尝试。
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int[] result = new int[8];//全局或成员变量,下标表示行,值表示queen存储在哪一列 public void cal8queens(int row) { // 调用方式：cal8queens(0); if (row == 8) { // 8个棋子都放置好了，打印结果 printQueens(result); return; // 8行棋子都放好了，已经没法再往下递归了，所以就return } for (int column = 0; column < 8; ++column) { // 每一行都有8中放法 if (isOk(row, column)) { // 有些放法不满足要求 result[row] = column; // 第row行的棋子放到了column列 cal8queens(row+1); // 考察下一行 } } } private boolean isOk(int row, int column) {//判断row行column列放置是否合适 int leftup = column - 1, rightup = column + 1; for (int i = row-1; i >= 0; --i) { // 逐行往上考察每一行 if (result[i] == column) return false; // 第i行的column列有棋子吗？ if (leftup >= 0) { // 考察左上对角线：第i行leftup列有棋子吗？ if (result[i] == leftup) return false; } if (rightup < 8) { // 考察右上对角线：第i行rightup列有棋子吗？ if (result[i] == rightup) return false; } --leftup; ++rightup; } return true; } private void printQueens(int[] result) { // 打印出一个二维矩阵 for (int row = 0; row < 8; ++row) { for (int column = 0; column < 8; ++column) { if (result[row] == column) System.out.print("Q "); else System.out.print("* "); } System.out.println(); } System.out.println(); }
两个回溯算法的经典应用
- 0-1背包问题：有一个背包，背包总的承载重量是 Wkg。现在我们有 n 个物品，每个物品的重量不等，并且不可分割。我们现在期望选择几件物品，装载到背包中。在不超过背包所能装载重量的前提下，如何让背包中物品的总重量最大？
- 因为物品不可分割，要么装要么不装，所以叫0-1背包问题，贪心算法解决的是物品可以分割的背包问题
- 用回溯的方法。我们可以把物品依次排列，整个问题就分解为了 n 个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理，选择装进去或者不装进去，然后再递归地处理剩下的物品。
- 还要用到了一点搜索剪枝的技巧，就是当发现已经选择的物品的重量超过 Wkg 之后，我们就停止继续探测剩下的物品。
- 使用备忘录，避免重复计算。
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private int maxW = Integer.MIN_VALUE; // 结果放到maxW中 private int[] weight = {2，2，4，6，3}; // 物品重量 private int n = 5; // 物品个数 private int w = 9; // 背包承受的最大重量 private boolean[][] mem = new boolean[5][10]; // 备忘录，默认值false public void f(int i, int cw) { // 调用f(0, 0) if (cw == w || i == n) { // cw==w表示装满了，i==n表示物品都考察完了 if (cw > maxW) maxW = cw; return; } if (mem[i][cw]) return; // 重复状态 mem[i][cw] = true; // 记录(i, cw)这个状态 f(i+1, cw); // 选择不装第i个物品 if (cw + weight[i] <= w) { f(i+1,cw + weight[i]); // 选择装第i个物品 }
- 正则表达式
- 假设正则表达式中只包含“*”和“?”这两种通配符，并且对这两个通配符的语义稍微做些改变，其中，“*”匹配任意多个（大于等于 0 个）任意字符，“?”匹配零个或者一个任意字符。
- 基于以上背景假设，我们看下，如何用回溯算法，判断一个给定的文本，能否跟给定的正则表达式匹配？
- 依次考察正则表达式中的每个字符，当是非通配符时，我们就直接跟文本的字符进行匹配，如果相同，则继续往下处理；如果不同，则回溯。
- 如果遇到特殊字符的时候，也就是所谓的岔路口，比如“*”有多种匹配方案，可以匹配任意个文本串中的字符，就先随意的选择一种匹配方案，然后继续考察剩下的字符。如果中途发现无法继续匹配下去了，就回到这个岔路口，重新选择一种匹配方案，然后再继续匹配剩下的字符。
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public class Pattern { private boolean matched = false; private char[] pattern; // 正则表达式 private int plen; // 正则表达式长度 public Pattern(char[] pattern, int plen) { this.pattern = pattern; this.plen = plen; } public boolean match(char[] text, int tlen) { // 文本串及长度 matched = false; rmatch(0, 0, text, tlen); return matched; } private void rmatch(int ti, int pj, char[] text, int tlen) { if (matched) return; // 如果已经匹配了，就不要继续递归了 if (pj == plen) { // 正则表达式到结尾了 if (ti == tlen) matched = true; // 文本串也到结尾了 return; } if (pattern[pj] == '*') { // *匹配任意个字符 for (int k = 0; k <= tlen-ti; ++k) { rmatch(ti+k, pj+1, text, tlen); } } else if (pattern[pj] == '?') { // ?匹配0个或者1个字符 rmatch(ti, pj+1, text, tlen); rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen); } else if (ti < tlen && pattern[pj] == text[ti]) { // 纯字符匹配才行 rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen); } } }