数位DP

数位DP常见的模板：

int dfs(int i,int s,bool e)
{
    if(i==-1)   return s=target_s;
    if(!e&&~f[i][s])   return f[i][s];
    int res=0;
    int u=e?digit[i]:9;
    for(int d=first?1:0;d<=u;d++)
        res+=dfs(i-1,new_s(e,d),e&&d==u)
        return e?res:f[i][s]=res;
}

其中：

f为记忆化数组；

i为当前处理串的第i位（权重表示法，也即后面剩下i+1位待填数）；

s为之前数字的状态（如果要求后面的数满足什么状态，也可以再记一个目标状态t之类，for的时候枚举下t）；

e表示之前的数是否是上界的前缀（即后面的数能否任意填）。

for循环枚举数字时，要注意是否能枚举0，以及0对于状态的影响，有的题目前导0和中间的0是等价的，但有的不是，对于后者可以在dfs时再加一个状态变量z，表示前面是否全部是前导0，也可以看是否是首位，然后外面统计时候枚举一下位数。It depends.

于是关键就在怎么设计状态。当然做多了之后状态一眼就可以瞄出来

首先先来一个比较水的数位DP

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3555

DP的状态是2维的dp[len][3]
dp[len][0] 代表长度为len不含49的方案数
dp[len][1] 代表长度为len不含49但是以9开头的数字的方案数
dp[len][2] 代表长度为len含有49的方案数

状态转移如下
dp[i][0] = dp[i-1][0] * 10 - dp[i-1][1];  // not include 49  如果不含49且，在前面可以填上0-9 但是要减去dp[i-1][1] 因为4会和9构成49
dp[i][1] = dp[i-1][0];  // not include 49 but starts with 9  这个直接在不含49的数上填个9就行了
dp[i][2] = dp[i-1][2] * 10 + dp[i-1][1]; // include 49  已经含有49的数可以填0-9，或者9开头的填4

接着就是从高位开始统计

在统计到某一位的时候，加上 dp[i-1][2] * digit[i] 是显然对的，因为这一位可以填 0 - (digit[i]-1)
若这一位之前挨着49，那么加上 dp[i-1][0] * digit[i] 也是显然对的。
若这一位之前没有挨着49，但是digit[i]比4大，那么当这一位填4的时候，就得加上dp[i-1][1]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
long long dp[20][3];
int digit[20];
int main()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<20;i++)
    {
        dp[i][0]=dp[i-1][0]*10-dp[i-1][1];
        dp[i][1]=dp[i-1][0];
        dp[i][2]=dp[i-1][2]*10+dp[i-1][1];
    }
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int len=0,last=0;
        long long ans=0;
        unsigned long long n;
        n=0;
        cin>>n;
        n++;
        memset(digit,0,sizeof(digit));
        while(n)
        {
            digit[++len]=n%10;
            n=n/10;
        }
        bool flag=false;
        for(int i=len;i>=1;i--)
        {
            ans+=dp[i-1][2]*digit[i];
            if(flag)
                ans+=dp[i-1][0]*digit[i];
            if(!flag&&digit[i]>4)
                ans+=dp[i-1][1];
            if(last==4&&digit[i]==9)
                flag=true;
            last=digit[i];
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3709

题解：http://blog.csdn.net/libin56842/article/details/10121027

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
__int64 dp[19][19][2005];
int digit[20];
__int64 dfs(int pos,int o,int l,int work)
{
    if(pos==-1)
        return l==0;
    if(l<0)
        return 0;
    if(!work&&dp[pos][o][l]!=-1)
        return dp[pos][o][l];
    __int64 ans=0;
    int endx=work?digit[pos]:9;
    for(int i=0;i<=endx;i++)
    {
        int next=l;
        next+=(pos-o)*i;
        ans+=dfs(pos-1,o,next,work&&i==endx);
    }
    if(!work)
        dp[pos][o][l]=ans;
    return ans;
}
__int64 solve(__int64 n)
{
    int len=0;
    while(n)
    {
        digit[len++]=n%10;
        n/=10;
    }
    __int64 ans=0;
    for(int i=0;i<len;i++)
        ans+=dfs(len-1,i,0,1);
    return ans-(len-1);
}
int main()
{
    int T;
    __int64 l,r;
    cin>>T;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(T--)
    {
        cin>>l>>r;
        cout<<solve(r)-solve(l-1)<<endl;
    }
    return 0;
}