题解 P6722 【「MCOI-01」Village 村庄】

Step1 前置芝士：

如何证明一个图是二分图，又如何证明一个图不是二分图？

从定义入手： 二分图是一种不含有奇数条边环的图。

所以，对于此题，如果我们能确定新图中是否含有基环，我们就相应的可以确定这个数据合不合法。

Step2 从暴力开始

考虑如何暴力建新图？

如果$dis_{u, v} ge k$，那么在新图中就可以有连边呗。

所以，求出全源最短路，然后暴力建新图，最后判断是否为二分图就是我们的暴力做法了。
（~~感觉这个暴力也很麻烦的亚子，还不如继续推写正解(滑稽~~）

Step 3 考虑基环的性质

在一个基环上，我们考虑每个点的编号为$a_1, a_2, a_3$ ~ $a_m$。
其中$a_m$为编号最大的一个基环上的点, 令 $m > 3$。

假设基环上不存在一个点$a_p$, 满足$dis(a_1, a_p) ge k$ ^ $dis(a_p, a_m) ge k$，即不满足存在三元环的条件

不妨利用数学归纳法：
设一点$a_x$存在于基环上。

当 $x = 1$时，显然有 $dis(a_1, a_m) ge k$ ^ $dis(a_1, a_2) ge k$

当$x = 2$时，显然有 $dis(a_2, a_3) ge k$ ^ $dis(a_2, a_m) < k$

当$x = 2y(y ≠0)$时，有 $dis(a_{2y}, a_{2y+1}) ge k$ ^ $dis(a_{2y},a_1) < k$ ^ $dis(a_{2y}, a_m) < k$ $Rightarrow$ 可知，此时的$a_m$不能存在于基环中，显然不对。

（这里还要结合原图来看啊，建议大家结合样例来手摸。）

（基环）

那么，证明了图中存在三元环之后，~~我们来看看官方题解~~，看看三元环跟树的直径的关系。

假设图中1,2,3号点构成三元环。
那么，有$d + e ge k$, $d + f ge k$, $e + f ge k$.

令图中$a + b$为极大值，则 $4,5,6$为树的直径。

假设不存在一点到直径两端点可以构成三元环。

那么，令1号点等效于1,2,3号点。

为满足条件，我们有：

$d + c + a < k$, 配合前面的柿子：
$d + e ge k$

不等式基本原则，$a + c < e$

所以 $b + c + e > b + c + a + c > a + b$，此时$(2,6)$成为直径，不符合原图。

所以，三元环上一定有一点到直径的两端距离均大于$k$。于是，我们只要找出树的直径，然后判断是否有点到其两端的距离均$ge k$即可。如果存在，则原图存在基环，不成立。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100010

template <class T>
inline void read(T& a){
    T x = 0, s = 1;
    char c = getchar();
    while(!isdigit(c)){
        if(c == '-') s = -1;
        c = getchar();
    }
    while(isdigit(c)){
        x = x * 10 + (c ^ '0');
        c = getchar();
    }
    a = x * s;
    return ;
}

struct node{      
    public:
        int v, w, next;
    
    public:
        node(int v = 0, int w = 0, int next = 0){
            this -> v = v;
            this -> w = w;
            this -> next = next;
            return ;
        }// 为什么存个边要写得这么毒瘤？  因为方便赋予初值啊 
        
    public: 
        inline void clean(){
            this -> v = 0;
            this -> next = 0;
            this -> w = 0;
            return ;
        }
    
} t[N << 1];
int f[N];

int bian = 0;
inline void add(int u, int v, int w){
    t[++bian] = node(v, w, f[u]), f[u] = bian;
    t[++bian] = node(u, w, f[v]), f[v] = bian;
    return ;
}

int dis[N], dis1[N], dis2[N];
int s1, s2;
int maxn = -666;
int cur = 0;

#define v t[i].v
void dfs(int now, int father, int* dis){  // 用指针方便传入dis数组 
    if(dis[now] > maxn){
        maxn = dis[now];
        cur = now;
    }    
    for(int i = f[now]; i; i = t[i].next){
        if(v != father){
            dis[v] = dis[now] + t[i].w;
            dfs(v, now, dis);
        }
    }
    return ;
}
#undef v

inline void search(int x, int& y, int* dis){   // 找端点等各种操作 
    maxn = -666;
    cur = 0;
    dis[x] = 0;
    dfs(x, 0, dis);
    y = cur;
    return ;
}

inline void clean(){   // 不要忘记清空 
    for(int i = 1;i <= bian; i++)
        t[i].clean();
    memset(f, 0, sizeof(f));
    bian = 0;
    return ;
}

int main(){
    int T;
    read(T);
    while(T--){
        clean();
        int n, k;
        read(n), read(k);
        s1 = 0, s2 = 0;
        for(int i = 1; i < n; i++){
            int x, y, w;
            read(x), read(y), read(w); 
            add(x, y, w);
        }
        search(1, s1, dis);
        search(s1, s2, dis1);  // 找端点,顺便记录dis1 
        int temp = 0;
        search(s2, temp, dis2);  // 多搜一次，找dis2 
        bool flag = 0;
        for(int i = 1;i <= n; i++)
            if(dis1[i] >= k && dis2[i] >= k) {
                flag = 1;
                break;
            }
        if(flag)puts("Baka Chino");
        else puts("Yes");
    }
    return 0;
}