POJ 1661 Help Jimmy（C）动态规划

没刷过 POJ，这题是论坛有人问的，我才看看。
我发现 POJ 注册很奇怪，账号总是登不上去，弄的我还注册两个。Emmm 首次体验很差，还好我不在 POJ 刷题。

题目链接：POJ 1661 Help Jimmy

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解题思路

我最初想的是用递归从上往下不断选择方向，结果发现我有点傻了，这样极有可能 TLE。

其实应该是用动态规划解题。从下往上，将每块平台的左端点和右端点到地面的最短时间计算出来。最后得到人的最短时间。

思路详解：

很明显，平台有三个数据，左端点，右端点，高度。因此直接定义结构体如下：

typedef struct Node {
	int left, right, height;
}Platform;// 平台
Platform plat[MAX_N];// 所有平台信息

这里有个细节就是将地面和人都看做平台。地面和人的数据如下：

// 地面，地面高度最小，故保存在数组第一个
plat[0].left = -20000;
plat[0].right = 20000;
plat[0].height = 0;
// 人，人高度最大，故保存在数组最后一个
plat[platNum - 1].left = plat[platNum - 1].right = x;
plat[platNum - 1].height = y;

升序排序。一如既往的使用 qsort 函数，自定义比较函数 compare。

从下往上遍历每个平台，分别计算左右端点的最短时间。保存在二维数组 time[MAX_N][2] 中。

计算数组的方法（以 time[i][0] 为例，i，j 表示平台）：

遍历 i 下方的平台，找到一个人不会摔死的平台 j。（如果会摔死，说明 i 的端点 dir 是悬崖，退出 down 函数）

如果找到 j 位于 i 的下方。判断 j 是不是地面。

如果是地面，那么 i 的高度就是 i 的端点 dir 的最短时间。time[i][dir] = plat[i].height。

如果不是地面，那么 j 是平台（不包括地面），如下图所示：

补充：图中的 h 改为 th。

需要注意的是，time[j][0] 和 time[j][1] 本身可能就是悬崖。具体看代码的 if 条件判断。这种情况有其他处理方法，暂且不表。

如果都不是悬崖，那么状态转移方程为：time[i][dir] = MIN(time[j][0] + tl, time[j][1] + tr) + th;

th，tl，tr 这三个量很容易计算。不做说明。

因此最后的 time[i][0]，其中 i 是人的下标，即为最终结果。

时间复杂度：main 函数里面有一个 for 循环，down() 里面有 for 循环。故为 $O(n^2)$ 。
空间复杂度：结构体数组加上一个二维数组，总共不低于 $O(n)$。

C代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<limits.h>// INT_MAX头文件

#define MAX_N 1003
#define MIN(a, b) (((a) < (b)) ? (a) : (b))

typedef struct Node {
	int left, right, height;
}Platform;// 平台
Platform plat[MAX_N];// 所有平台信息
int platNum;// 平台个数

int time[MAX_N][2];// 平台左端点和右端点到地面的最短时间

int maxHeight;// 每次下落的最大高度

int compare(const Platform* a, const Platform* b) {// 比较函数，平台高度升序
	return (*a).height - (*b).height;
}

// 下落
// i	当前平台
// dir	下落后选择的方向，0表示左，1表示右
// x	平台i的端点横坐标，必须与dir对应
void down(int i, int dir, int x) {
	// 查找i正下方的j
	int j;
	for (j = i - 1; j >= 0; --j) {
		if (plat[i].height - plat[j].height > maxHeight) {// i和j的高度差超过最大值
			time[i][dir] = INT_MAX;// 人会摔死，因此时间为正无穷，表示悬崖
			return;
		}
		if (x >= plat[j].left && x <= plat[j].right) {// j在i正下方
			break;// 已找到，退出循环
		}
	}

	if (j == 0) {// j是地面
		time[i][dir] = plat[i].height;// i的高度就是i的端点dir最短时间
		return;
	}

	// j是平台（不包括地面），计算i的端点dir到地面的最短时间
	int tl = x - plat[j].left;// i的端点到j的左端点的水平时间
	int tr = plat[j].right - x;// i的端点到j的右端点的水平时间
	int th = plat[i].height - plat[j].height;// i到j的垂直下落时间
	if (time[j][0] == INT_MAX) {// j左边是悬崖
		if (time[j][1] == INT_MAX) {// j右边是悬崖
			time[i][dir] = INT_MAX;// 那么i的端点dir也是悬崖
		} else {
			time[i][dir] = time[j][1] + tr + th;// 走j的右边
		}
	} else {
		if (time[j][1] == INT_MAX) {
			time[i][dir] = time[j][0] + tl + th;// 走j的左边
		} else {// j的左边和右边都不是悬崖，选择j的时间短的方向
			time[i][dir] = MIN(time[j][0] + tl, time[j][1] + tr) + th;
		}
	}
}

int main() {
	int t, n, x, y, max;
	
	scanf("%d", &t);// 样例数
	while (t--) {
		scanf("%d %d %d %d", &n, &x, &y, &max);

		maxHeight = max;// 每次下落的最大高度

		platNum = n + 2;// 平台，人，地面。共n+2个“平台”
		
		// 地面，地面高度最小，故保存在数组第一个
		plat[0].left = -20000;
		plat[0].right = 20000;
		plat[0].height = 0;
		// 人，人高度最大，故保存在数组最后一个
		plat[platNum - 1].left = plat[platNum - 1].right = x;
		plat[platNum - 1].height = y;

		// 输入所有平台的左右端点坐标和高度
		for (int i = 1; i < platNum - 1; ++i) {
			scanf("%d %d %d", &plat[i].left, &plat[i].right, &plat[i].height);
		}

		qsort(plat, platNum, sizeof(Platform), compare);// 平台按照高度升序

		time[0][0] = time[0][1] = 0;// 地面时间为0
		
		for (int i = 1, j; i < platNum; ++i) {// 从下往上计算每个平台的最短用时
			down(i, 0, plat[i].left);// 从i下落后走左边
			down(i, 1, plat[i].right);// 从i下落后走右边
		}

		printf("%d
", time[platNum - 1][0]);// 输出人到地面的最短用时
	}

	return 0;
}

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