算法提高 递推求值

问题描述

　　已知递推公式：

　　F(n, 1)=F(n-1, 2) + 2F(n-3, 1) + 5,

　　F(n, 2)=F(n-1, 1) + 3F(n-3, 1) + 2F(n-3, 2) + 3.

　　初始值为：F(1, 1)=2, F(1, 2)=3, F(2, 1)=1, F(2, 2)=4, F(3, 1)=6, F(3, 2)=5。
　　输入n，输出F(n, 1)和F(n, 2)，由于答案可能很大，你只需要输出答案除以99999999的余数。

输入格式

　　输入第一行包含一个整数n。

输出格式

　　输出两行，第一行为F(n, 1)除以99999999的余数，第二行为F(n, 2)除以99999999的余数。

样例输入

4

样例输出

14

21

数据规模和约定

　　1<=n<=10^18。

 

解题思路

可模仿矩阵快速幂在斐波拉契数列上的应用，构造一下矩阵。

 

[f(n,1),f(n,2),f(n-1,1),f(n-1,2),f(n-2,1),f(n-2,2),5,3] = [f(n-1,1),f(n-1,2),f(n-2,1),f(n-2,2),f(n-3,1),f(n-3,2),5,3] * A

 

A矩阵为

0,1,1,0,0,0,0,0,
1,0,0,1,0,0,0,0,
0,0,0,0,1,0,0,0,
0,0,0,0,0,1,0,0,
2,3,0,0,0,0,0,0,
0,2,0,0,0,0,0,0,
1,0,0,0,0,0,1,0,
0,1,0,0,0,0,0,1

注意！重要数据请用 long long 类型

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;

const int mod = 99999999;
vector<long long>c[8];
vector<long long>t[8];
vector<long long>res[8];
long long f[8]={6,5,1,4,2,3,5,3};

void init(){
    int i;
    for(i=0;i<8;i++){
        c[i].assign(8,0);
        t[i].assign(8,0);
        res[i].assign(8,0);
    }
    t[0][1]=1;
    t[0][2]=1;
    t[1][0]=1;
    t[1][3]=1;
    t[2][4]=1;
    t[3][5]=1;
    t[4][0]=2;
    t[4][1]=3;
    t[5][1]=2;
    t[6][0]=1;
    t[6][6]=1;
    t[7][1]=1;
    t[7][7]=1;
}

void mul(vector<long long>a[], vector<long long>b[]){
    int i,j,k;
    for(i=0;i<8;i++){
        for(j=0;j<8;j++){
            c[i][j] = 0;
            for(k=0;k<8;k++){
                c[i][j] = (c[i][j]+(a[i][k]*b[k][j])%mod)%mod;    
            }
        }
    }
}

void QuickPow(long long n){
    int i;
    for(i=0;i<8;i++)
        res[i][i]=1;
    while(n){
        if(n & 1){
            mul(t, res);
            for(i=0;i<8;i++)
                res[i].swap(c[i]);
        }
        mul(t, t);
        for(i=0;i<8;i++)
            t[i].swap(c[i]);
        n = n>>1;
    }
}

int main()
{
    init();
    long long n;
    long long sum1=0,sum2=0;
    cin>>n;
    if(n==1)
        cout<<"2"<<endl<<"3"<<endl;
    else if(n==2)
        cout<<"1"<<endl<<"4"<<endl;
    else if(n==3)
        cout<<"6"<<endl<<"5"<<endl;
    else{
        n-=3;
        QuickPow(n);
        for(int i=0;i<8;i++){
        sum1=(sum1+(f[i]*res[i][0])%99999999)%99999999;
        sum2=(sum2+(f[i]*res[i][1])%99999999)%99999999;
        } 
        cout<<sum1<<endl<<sum2<<endl;
    }
    
    return 0;
}