【动态规划】最大连续子序列和，最大子矩阵和，最大m子段和

1.最大字段和问题

求一个序列最大连续子序列之和。

例如序列[-1，-2，-3，4，5，-6]的最大子段和为4 + 5 = 9。

①枚举法

int MaxSum(int n,int *a){
    int sum = -0x3f3f3f3f;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int b = 0;
        for(int j=i;j<n;j++){
            b += a[j];
            sum = b > sum ? b : sum;
        }
    }
    return sum;
}

 ②动态规划

解题思路：

第一步：设b[ j ] 为 1到 j 的最大连续子序列之和。

第二步：因为b[ j ] 为以a[ j ]结尾的最大连续子序列之和，因此有两种可能

　　1.b[ j ] = a[ j ]

　　2.b[ j ] = b[ j - 1 ] + a[ j ]

因此我们可以得到递推方程，

b[ j ] = max{ a[ j ], b[ j  - 1] + a[ j ] } = max { 0 , b[ j - 1 ]} + a[ j ]

int MaxSum(int n,int *a){
    int sum = -0x3f3f3f3f, b = 0;
    for(int i=0; i<n; i++){
        if(b>=0)
            b+=a[i];
        else
            b=a[i];
        if(b>sum)
            sum = b;
    }
    return sum;
}

2.引申：两个连续序列的最大字段和问题

求两个等长的序列的最大重叠连续子序列之和

例，第一个序列为[-1，-2，-3，4，5，-6]，第二个序列为[1，2，4，4，5，-6]，则 MAX = ( 4 + 5) + (4 + 5) = 19

2与1的区别在于，原本只有一个序列，现在变成两个，但是求的是最大重叠连序列之和，所以可以将两个序列加起来变成一个序列。

①枚举法

②动态规划

解题思路:

设b[ j ] 为 1到 j 的最大重叠连续子序列之和。

若b[ j - 1 ] >= 0 ，

　　则 b[ j ] = b [ j - 1 ] + a[ 0 ][ j ] +  a[ 1 ][ j ];

　　否则 b[ j ] = a[ 0 ][ j ] +  a[ 1 ][ j ]

int MaxSum(int n,int (*a)[6]){
    int sum = -0x3f3f3f3f, b = 0;
    for(int i=0; i<n; i++){
        if(b>=0){
            b+=a[0][i];
            b+=a[1][i];
        }
        else{
            b=a[0][i];
            b+=a[1][i];
        }
        if(b>sum)
            sum = b;
    }
    return sum;
}

3.最大子矩阵之和

给定矩阵A，求其子矩阵各元素之和的最值

若将矩阵的行看作是一个个的连续序列，则与2问题不同的是，

　　第一，可能不只一个连续序列(矩阵的行)相加，

　　第二，需要枚举子矩阵的初始行R0，和结束行R1

①枚举法

②动态规划

//求 r0行到r1行 第i列元素的和 
int sum_r(int r0, int r1, int i){
    int sum = 0;
    for(int r=r0;r<=r1;r++)
        sum += a[r][i];
    return sum;
}
//求最大子矩阵和
int MaxSum(){
    int sum = -0x3f3f3f3f;
    for(int r0=0;r0<m;r0++){//枚举初始行
        for(int r1=r0;r1<m;r1++){//枚举结束行
            int b = 0;
            for(int i=0; i<n; i++){//这个循环使用问题1中的算法
                if(b>=0)
                    b+=sum_r(r0,r1,i);//第r0行到第r1行 第i列元素和
                else
                    b=sum_r(r0,r1,i);
                
                sum = sum > b? sum : b;
            }
        }
    }
    return sum;
}

我们能够注意到，上面的程序，需要我们写一个计算第r0行到第r1行第i列的元素和的函数sum_r( )，但是我们需要频繁调用这个函数，可以用一个数组来记录计算结果，这一步可以在我们读入数据的时候进行。

专门建立一个二维数组，col [ i ][ j ]，记录第 i 列，前 j 个元素的和。

所以，MaxSum函数中，b += sum_r(r0, r1, i )，可以替换成

b += col[ i ][ r1 ] - col[ i ][ r0 - 1 ]

最终代码

int MaxSum(){
    int sum = -0x3f3f3f3f;
    for(int r0=0;r0<m;r0++){
        for(int r1=r0;r1<m;r1++){
            int b = 0;
            for(int i=0; i<n; i++){
                if(b>=0)
                    b+=col[i][r1] - col[i][r0 - 1];
                else
                    b=col[i][r1] - col[i][r0 - 1];
                
                sum = sum > b? sum : b;
            }
        }
    }
    return sum;
}

 4.最大m字段和问题