百度百科
https://baike.baidu.com/item/tarjan%E7%AE%97%E6%B3%95/10687825?fr=aladdin
参考博文
http://blog.csdn.net/qq_34374664/article/details/77488976
http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/51672725
https://www.cnblogs.com/shadowland/p/5872257.html
算法介绍（基于DFS）
了解tarjan算法之前你需要知道：强连通，强连通图，强连通分量。
强 连 通：如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通(strongly connected)。
在一个有向图G里，设两个点a和b, 发现由a有一条路可以走到b，由b又有一条 路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。（注意间接连接也可以）
强连通图：如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。
强连通分量：在一个有向图G中，有一个子图G2，这个子图G2每2个点都满足强连通，我们就 把这个子图G2叫做强连通分量 。
我们来看一个有向图方便理解：
标注蓝色线条框框的部分就是一个强连通分量，节点3也是一个强连通分量
我们再来看一个图（百度百科中的图）：
子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量实际上为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入到一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
在Tarjan算法中，有如下定义。
（注意，下面的定义如看不明白没关系，多看后面的模拟就明白了）
DFN[u]数组 : 在DFS中该节点被搜索的次序编号，每个点的次序编号都不一样。
通俗地解释DFN[u]： 意思就是在DFS的过程中，当前的这个节点是第几个被遍历到的点
LOW[u]数组 : u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号
通俗地解释LOW[u]： 就是在DFS的过程中，如果当前节点是极大强联通子图的话，他的根节点的标号就是对应的LOW值：
当DFN[ u ]==LOW[ u ]时，u或u的子树可以构成一个强连通分量。
通俗地解释：当DFN[ u ]==LOW[ u ]时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
回溯条件: DFS遇到的节点在已在栈中或者DFS遇到无出度的节点时就回溯。
回溯时需要维护LOW[u]的值。
如果下一个要遍历的节点在栈中，那么就要把当前节点的LOW[u]值设置成下一个节点（在栈中）的DFN[v]值。如：LOW[u]=DFN[v] 或者LOW[u]= min(LOW[u], DFN[v])
如果还需要接着回溯，那么接着维护LOW[u]=min(LOW[u]，LOW[v])
（即使v搜过了也要进行这步操作，但是v一定要在栈内才行）
u代表当前节点，v代表其能到达的节点。在进行一层深搜之后回溯的时候，维护LOW[u]的值。如果我们发现了某个节点回溯之后维护的LOW[u]值还是==DFN[u]的值，那么这个节点无疑就是一个关键节点：
算法演示：以1为Tarjan 算法的起始点，如图：前面不明白没关系，重点从这里开始看
假如从1号节点开始遍历，开始dfs，并不断设置当前节点的DFN值和LOW值，并把当前这个节点压入栈中，那么第一次在节点6处停止，因为6没有出度。
那么此时的DFN和LOW值分别为：
从1开始： DFN［1］＝LOW［1］＝ ＋＋index －－－－1
入栈 1
由1进入3： DFN［3］＝LOW［3］＝ ＋＋index －－－－2
入栈 1 3
由3进入5： DFN［5］＝LOW［5］＝ ＋＋index －－－－3
入栈 1 3 5
由5进入6： DFN［6］＝LOW［6］＝ ＋＋index －－－－4
入栈 1 3 5 6
可以用下图来表示：
因为节点6无出度，于是判断 DFN［6］＝＝LOW［6］，把6出栈(pop)。
{6}是一个强连通分量。
目前栈的节点有： 1 3 5 见下图：
之后回溯到节点5，节点6被访问过了并出栈(pop)了，所以它也没有能访问的边了，
那么 DFN［5］＝＝LOW［5］，{5} 也是一个强连通分量，弹出5
目前栈的节点有： 1 3
返回节点3，继续搜索到节点4，节点4是新节点，设DFN[4]=LOW[4]=5并把4加入堆栈。
DFN［4］＝LOW［4］＝ ＋＋index －－－－－5
入栈 1 3 4 见下图：
继续节点4往下找，找到了节点1 。
因为1号节点还在栈中，那么就代表着栈中的现有的所有元素构成了一个强连通图
（仔细想想、、兜了一圈又回到起点1）
回溯到节点4，更新 LOW[4]的值： LOW[4]= min(LOW[4], DFN[1]) 值更新为1
再接着访问4的下一个节点6，节点6 被访问过并POP了，就不用管它了。
再回溯到节点3，更新 LOW[3]的值： LOW[3]= min(LOW[3], LOW[4]) 值更新为1
3号节点也没有能访问的下一个节点了。图如下：
再回溯到节点1，更新 LOW[1]的值： LOW[1]= min(LOW[1], LOW[3]) 值还是为1
节点1还有边没有走过。发现节点2，访问节点2，节点2是新节点，放入栈中
DFN［2］＝LOW［2］＝＋＋index －－－－6
入栈 1 3 4 2
由节点2，走到4，发现4被访问过了，4还在栈里，
回溯到节点2 更新LOW[2] = min(LOW[2], DFN[4]) LOW［2］＝5
节点2也没有可访问的下一个节点了。
再回溯到节点1 更新LOW[1] = min(LOW[1], LOW[2]) LOW［1］＝1
这时我们发现LOW[1]==DFN[1] 说明以1为 根节点 的强连通分量已经找完了。
将栈中1，3，4，2全部节点都出栈。{1，3，4，2} 是强连通分量。图如下
至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2}, {5}, {6}。
可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
实战：（后面有Tarjan算法的伪代码及模板，可以参考）
P1726 上白泽慧音 https://www.luogu.org/problemnew/show/1726
P2661 信息传递 https://www.luogu.org/problemnew/show/2661
P3379 LCA Tarjan算法 https://www.luogu.org/problemnew/show/3379
P1262 间谍网络 （提示：可用Tanjan缩点） https://www.luogu.org/problemnew/show/1262
P3387 【模板】缩点 https://www.luogu.org/problemnew/show/3387
以下4道题是北京大学的是英文题，如不明白意思可看下面的翻译：
题解 http://blog.csdn.net/u012469987/article/details/51292558#poj-1236-network-of-schools
http://poj.org/problem?id=2186 http://poj.org/problem?id=1236
http://poj.org/problem?id=1904 http://poj.org/problem?id=1330
接下来我们讨论一下Tarjan算法另外能够干一些什么：
既然我们知道，Tarjan算法相当于在一个有向图中找有向环，那么我们Tarjan算法最直接的能力就是缩点辣！缩点基于一种染色实现，我们在Dfs的过程中，尝试把属于同一个强连通分量的点都染成一个颜色，那么同一个颜色的点，就相当于一个点。
比如刚才的实例图中缩点之后就可以变成这样：
将一个有向带环图变成了一个有向无环图(DAG图)。很多算法要基于有向无环图才能进行的算法就需要使用Tarjan算法实现染色缩点，建一个DAG图然后再进行算法处理。在这种场合，Tarjan算法就有了很大的用武之地！
那么这个时候 ，我们再引入一个数组color【i】表示节点i的颜色，再引入一个数组stack【】实现一个栈，然后在Dfs过程中每一次遇到点都将点入栈，在每一次遇到关键点的时候将栈内元素弹出，一直弹到栈顶元素是关键点的时候为止，对这些弹出来的元素进行染色即可。
缩点代码实现：
void Tarjan(int u) //此代码仅供参考 { vis[u]=1; low[u]=dfn[u]=cnt++; stack[++tt]=u; for(int i=0;i<mp[u].size();i++) { int v=mp[u][i]; if(vis[v]==0)Tarjan(v); if(vis[v]==1)low[u]=min(low[u],low[v]); } if(dfn[u]==low[u]) { sig++; do { low[stack[tt]]=sig; color[stack[tt]]=sig; vis[stack[tt]]=-1; } while(stack[tt--]!=u); } }
Tarjan算法伪代码参考：
//注意，v指的是u能达到的下一个节点 tarjan(u){ DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值 Stack.push(u) // 将节点u压入栈中 for each (u, v) in E // 枚举每一条边 if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过 tarjan(v) // 继续向下找 Low[u] = min(Low[u], Low[v]) else if (v in S) // 如果节点u还在栈内 Low[u] = min(Low[u], DFN[v]) if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根 repeat v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点 print v until (u== v) }
Tanjan算法模板：
void Tarjan ( int x ) { dfn[ x ] = ++dfs_num ; low[ x ] = dfs_num ; vis [ x ] = true ; //是否在栈中 stack [ ++top ] = x ; for ( int i=head[ x ] ; i!=0 ; i=e[i].next ) { int temp = e[ i ].to ; if ( !dfn[ temp ] ) { Tarjan ( temp ) ; low[ x ] = gmin ( low[ x ] , low[ temp ] ) ; } else if ( vis[ temp ])low[ x ] = gmin ( low[ x ] , dfn[ temp ] ) ; } if ( dfn[ x ]==low[ x ] ) //构成强连通分量 { vis[ x ] = false ; color[ x ] = ++col_num ; //染色 while ( stack[ top ] != x ) //清空 { color [stack[ top ]] = col_num ; vis [ stack[ top-- ] ] = false ; } top -- ; } }
Tanjan算法另一个模板：
#define M 5010 //题目中可能的最大点数 int STACK[M],top=0; //Tarjan算法中的栈 bool InStack[M]; //检查是否在栈中 int DFN[M]; //深度优先搜索访问次序 int Low[M]; //能追溯到的最早的次序 int ComponentNumber=0; //有向图强连通分量个数 int Index=0; //索引号 vector<int> Edge[M]; //邻接表表示 vector<int> Component[M]; //获得强连通分量结果 int InComponent[M]; //记录每个点在第几号强连通分量里 int ComponentDegree[M]; //记录每个强连通分量的度 void Tarjan(int i) { int j; DFN[i]=Low[i]=Index++; InStack[i]=true;STACK[++top]=i; for (int e=0;e<Edge[i].size();e++) { j=Edge[i][e]; if (DFN[j]==-1) { Tarjan(j); Low[i]=min(Low[i],Low[j]); } else if (InStack[j]) Low[i]=min(Low[i],DFN[j]); } if (DFN[i]==Low[i]) { ComponentNumber++; do{ j=STACK[top--]; InStack[j]=false; Component[ComponentNumber]. push_back(j); InComponent[j]=ComponentNumber; } while (j!=i); } }
Tarjan算法裸代码：
输入：
一个图有向图。
输出：
它每个强连通分量。
这个图就是刚才讲的那个图。一模一样。
input:
6 8
1 3
1 2
2 4
3 4
3 5
4 6
4 1
5 6
output:
6
5
3 4 2 1
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<string.h> using namespace std; struct node { int v,next; }edge[1001]; int DFN[1001],LOW[1001]; int stack[1001],heads[1001],visit[1001],cnt,tot,index; void add(int x,int y) { edge[++cnt].next=heads[x]; edge[cnt].v = y; heads[x]=cnt; return ; } void tarjan(int x) //代表第几个点在处理。递归的是点。 { DFN[x]=LOW[x]=++tot; //新进点的初始化。 stack[++index]=x; //进栈 visit[x]=1; //表示在栈里 for(int i=heads[x];i!=-1;i=edge[i].next) { if(!DFN[edge[i].v]) //如果没访问过 { tarjan(edge[i].v); //往下进行延伸，开始递归 LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);//递归出来，比较谁是谁的儿子／父亲，就是树的对应关系，涉及到强连通分量子树最小根的事情。 } else if(visit[edge[i].v ])//如果访问过，并且还在栈里 { LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);//比较谁是谁的儿子／父亲。就是链接对应关系 } } if(LOW[x]==DFN[x]) //发现是整个强连通分量子树里的最小根。 { do{ printf("%d ",stack[index]); visit[stack[index]]=0; index--; }while(x!=stack[index+1]);//出栈，并且输出。 printf(" "); } return ; } int main() { memset(heads,-1,sizeof(heads)); int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); int x,y; for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d",&x,&y); add(x,y); } for(int i=1;i<=n;i++) if(!DFN[i]) tarjan(i);//当这个点没有访问过，就从此点开始。防止图没走完 return 0; }