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  • [备忘]求两数最大公约,最小公倍数

     求两数最大公约,最小公倍数

     

     

    P120 6.1 <谭>

    输入两个正整数m和n, 求其最大公约数和最小公倍数.

    <1> 用辗转相除法求最大公约数
    算法描述:
    m对n求余为a, 若a不等于0
    则 m <- n, n <- a, 继续求余
    否则 n 为最大公约数
    <2> 最小公倍数 = 两个数的积 / 最大公约数

    #include <stdio.h>
    int main()
    {
        int m, n;
        int m_cup, n_cup, res;          /*被除数, 除数, 余数*/
        printf("Enter two integer:\n");
        scanf("%d %d", &m, &n);
        if (m > 0 && n >0)
        {
            m_cup = m;
            n_cup = n;

            res = m_cup % n_cup;
            while (res != 0)
            {
                m_cup = n_cup;
                n_cup = res;
                res = m_cup % n_cup;
            }


            printf("Greatest common divisor: %d\n", n_cup);
            printf("Lease common multiple  : %d\n", m * n / n_cup);
        }
        else printf("Error!\n");
        return 0;
    }

    关于辗转相除法, 搜了一下, 在我国古代的《九章算术》中就有记载,现摘录如下:

    约分术曰:“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。”

    其中所说的“等数”,就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法,实际上就是辗转相除法。

    辗转相除法求最大公约数,是一种比较好的方法,比较快。

    对于52317和75569两个数,你能迅速地求出它们的最大公约数吗?一般来说你会找一找公共的使因子,这题可麻烦了,不好找,质因子大。

    现在教你用辗转相除法来求最大公约数。

    先用较大的75569除以 52317,得商1,余数23252,再以52317除以23252,得商2,余数是5813,再用23252做被除数,5813做除数,正好除尽得商数 4。这样5813就是5569和52317的最大公约数。你要是用分解使因数的办法,肯定找不到。

    那么,这辗转相除法为什么能得到最大公约数呢?下面我就给大伙谈谈。

    比如说有要求a、b两个整数的最大公约数,a>b,那么我们先用a除以b,得到商8,余数r1:a÷b=q1…r1我们当然也可以把上面这个式子改写成乘法式:a=bq1+r1------l)

    如果r1=0,那么b就是a、b的最大公约数3。要是r1≠0,就继续除,用b除以r1,我们也可以有和上面一样的式子:

    b=r1q2+r2-------2)

    如果余数r2=0,那么r1就是所求的最大公约数3。为什么呢?因为如果2)式变成了b=r1q2,那么b1r1的公约数就一定是a1b的公约数。这是因为一个数能同时除尽b和r1,那么由l)式,就一定能整除a,从而也是a1b的公约数。

    反过来,如果一个数d,能同时整除a1b,那么由1)式,也一定能整除r1,从而也有d是b1r1的公约数。

    这样,a和b的公约数与b和r1的公约数完全一样,那么这两对的最大公约数也一定相同。那b1r1的最大公约数,在r1=0时,不就是r1吗?所以a和b的最大公约数也是r1了。

    有人会说,那r2不等于0怎么办?那当然是继续往下做,用r1除以r2,……直到余数为零为止。

    在这种方法里,先做除数的,后一步就成了被除数,这就是辗转相除法名字的来历吧。

    一般用辗转相除法,都列成下面的式子:

                  

    不过,《九章》中的辗转相除法略有些不同,它叫“更相减损”,是辗转相减的方法。这也很好理解,除法就是一种连续地减去除数的一种简便运算,一直减到结果比除数小为止。

    比如我们用“更相减损法”来求91 和49的最大公约数,可以由91减49一次,得余42;再由49减42一次,余7;更由42减7,这一回要减五次,余的还是7,再减,就是0了。那么这个 7就是91和49的最大公约数。这个7就是约分术中所谓的“等数”,因为减得结果和最后一次的减数相等了,就叫等数。

    辗转相除法在小学中学都没教过,恐怕是有点难讲清其中的道理。不过,两千多年前的古人居然有此创造,咱们后人再学不会,可就惭愧了,何况这还是一种很实用的方法

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    【ES】Head插件操作ElasticSearch增删改查(转载记录)
    elasticsearch使用head插件查询及删除索引(首次使用记录)
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