[BZOJ1477] 青蛙的约会|扩展欧几里得算法

1477: 青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

以下题解摘自黄学长，传送门：hzwer.com。

(x+ms)-(y+ns)=lk
变形得(n-m)s+lk=x-y

于是扩展gcd

利用扩展欧几里得算法求解不定方程a * x + b * y = n的整数解的求解全过程，步骤如下：

1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a’ * x + b’ * y = n’，此时Gcd(a’,b’)=1;

2、利用扩展欧几里德算法求出方程a’ * x + b’ * y = 1的一组整数解x0,y0，则n’ * x0,n’ * y0是方程a’ * x + b’ * y = n’的一组整数解；

3、根据数论中的相关定理，可得方程a’ * x + b’ * y = n’的所有整数解为：

x = n’ * x0 + b’ * t

y = n’ * y0 – a’ * t (t=0,1,2，……)

调整得到正整数解。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}
void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (b==0) { x=1; y=0; return; }
    ex_gcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x; x=y; y=t-a/b*x;
}
int main()
{
    ll a,b,c,x,y,m,n,l,t;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    a=n-m;b=l;c=x-y;
    t=gcd(a,b);
    if (c%t!=0) { puts("Impossible"); return 0; }
    a/=t; b/=t; c/=t;
    ex_gcd(a,b,x,y);
    x=((c*x)%b+b)%b;
    if (!x) x+=b;
    printf("%lld
",x);
    return 0;
}