K-Means聚类算法

聚类分析是在数据中发现数据对象之间的关系，将数据进行分组，组内的相似性越大，组间的差别越大，则聚类效果越好。

不同的簇类型

聚类旨在发现有用的对象簇，在现实中我们用到很多的簇的类型，使用不同的簇类型划分数据的结果是不同的，如下的几种簇类型。

明显分离的

可以看到(a)中不同组中任意两点之间的距离都大于组内任意两点之间的距离，明显分离的簇不一定是球形的，可以具有任意的形状。

基于原型的

簇是对象的集合，其中每个对象到定义该簇的原型的距离比其他簇的原型距离更近，如(b)所示的原型即为中心点，在一个簇中的数据到其中心点比到另一个簇的中心点更近。这是一种常见的基于中心的簇，最常用的K-Means就是这样的一种簇类型。 
这样的簇趋向于球形。

基于密度的

簇是对象的密度区域，(d)所示的是基于密度的簇，当簇不规则或相互盘绕，并且有早上和离群点事，常常使用基于密度的簇定义。

关于更多的簇介绍参考《数据挖掘导论》。

基本的聚类分析算法

1. K均值： 
基于原型的、划分的距离技术，它试图发现用户指定个数(K)的簇。

2. 凝聚的层次距离： 
思想是开始时，每个点都作为一个单点簇，然后，重复的合并两个最靠近的簇，直到尝试单个、包含所有点的簇。

3. DBSCAN: 
一种基于密度的划分距离的算法，簇的个数有算法自动的确定，低密度中的点被视为噪声而忽略，因此其不产生完全聚类。

距离量度

不同的距离量度会对距离的结果产生影响，常见的距离量度如下所示：

K-Means算法

下面介绍K均值算法：

优点：易于实现 
缺点：可能收敛于局部最小值，在大规模数据收敛慢

算法思想较为简单如下所示：

选择K个点作为初始质心  
repeat  
    将每个点指派到最近的质心，形成K个簇  
    重新计算每个簇的质心  
until 簇不发生变化或达到最大迭代次数  

这里的重新计算每个簇的质心，如何计算的是根据目标函数得来的，因此在开始时我们要考虑距离度量和目标函数。

考虑欧几里得距离的数据，使用误差平方和（Sum of the Squared Error,SSE）作为聚类的目标函数，两次运行K均值产生的两个不同的簇集，我们更喜欢SSE最小的那个。

k表示k个聚类中心，ci表示第几个中心，dist表示的是欧几里得距离。 
这里有一个问题就是为什么，我们更新质心是让所有的点的平均值，这里就是SSE所决定的。

下面用Python进行实现

# dataSet样本点,k 簇的个数
# disMeas距离量度，默认为欧几里得距离
# createCent,初始点的选取
def kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent):
    m = shape(dataSet)[0] #样本数
    clusterAssment = mat(zeros((m,2))) #m*2的矩阵                   
    centroids = createCent(dataSet, k) #初始化k个中心
    clusterChanged = True             
    while clusterChanged:      #当聚类不再变化
        clusterChanged = False
        for i in range(m):
            minDist = inf; minIndex = -1
            for j in range(k): #找到最近的质心
                distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:])
                if distJI < minDist:
                    minDist = distJI; minIndex = j
            if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True
            # 第1列为所属质心，第2列为距离
            clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2
        print centroids

        # 更改质心位置
        for cent in range(k):
            ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]]
            centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) 
    return centroids, clusterAssment

重点理解一下：

  for cent in range(k):
      ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]]
      centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) 

循环每一个质心，找到属于当前质心的所有点，然后根据这些点去更新当前的质心。 
nonzero()返回的是一个二维的数组，其表示非0的元素位置。

>>> from numpy import *
>>> a=array([[1,0,0],[0,1,2],[2,0,0]])
>>> a
array([[1, 0, 0],
       [0, 1, 2],
       [2, 0, 0]])
>>> nonzero(a)
(array([0, 1, 1, 2]), array([0, 1, 2, 0]))

表示第[0,0],[1,1] … 位非零元素。第一个数组为行，第二个数组为列，两者进行组合得到的。

ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]] 
因此首先先比较clusterAssment[:,0].A==cent的真假，如果为真则记录了他所在的行，因此在用切片进行取值。

一些辅助的函数：

def loadDataSet(fileName):      #general function to parse tab -delimited floats
    dataMat = []                #assume last column is target value
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        curLine = line.strip().split('	')
        fltLine = map(float,curLine) #map all elements to float()
        dataMat.append(fltLine)
    return dataMat

def distEclud(vecA, vecB):
    return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))) #la.norm(vecA-vecB)

def randCent(dataSet, k):
    n = shape(dataSet)[1]
    centroids = mat(zeros((k,n)))#create centroid mat
    for j in range(n):#create random cluster centers, within bounds of each dimension
        minJ = min(dataSet[:,j]) 
        rangeJ = float(max(dataSet[:,j]) - minJ)
        centroids[:,j] = mat(minJ + rangeJ * random.rand(k,1))
    return centroids

运行和结果

将上述代码写到kMeans.py中，然后打开python交互端。

>>> from numpy import *
>>> import kMeans
>>> dat=mat(kMeans.loadDataSet('testSet.txt')) #读入数据
>>> center，clust=kMeans.kMeans(dat,4)
[[ 0.90796996  5.05836784]
 [-2.88425582  0.01687006]
 [-3.3447423  -1.01730512]
 [-0.32810867  0.48063528]]
[[ 1.90508653  3.530091  ]
 [-3.00984169  2.66771831]
 [-3.38237045 -2.9473363 ]
 [ 2.22463036 -1.37361589]]
[[ 2.54391447  3.21299611]
 [-2.46154315  2.78737555]
 [-3.38237045 -2.9473363 ]
 [ 2.8692781  -2.54779119]]
[[ 2.6265299   3.10868015]
 [-2.46154315  2.78737555]
 [-3.38237045 -2.9473363 ]
 [ 2.80293085 -2.7315146 ]]
# 作图
>>>kMeans(dat,center)

绘图的程序如下：

def draw(data,center):
    length=len(center)
    fig=plt.figure
    # 绘制原始数据的散点图
    plt.scatter(data[:,0],data[:,1],s=25,alpha=0.4)
    # 绘制簇的质心点
    for i in range(length):
        plt.annotate('center',xy=(center[i,0],center[i,1]),xytext=
        (center[i,0]+1,center[i,1]+1),arrowprops=dict(facecolor='red'))
    plt.show()

K-Means算法的缺陷

k均值算法非常简单且使用广泛，但是其有主要的两个缺陷： 
1. K值需要预先给定，属于预先知识，很多情况下K值的估计是非常困难的，对于像计算全部微信用户的交往圈这样的场景就完全的没办法用K-Means进行。对于可以确定K值不会太大但不明确精确的K值的场景，可以进行迭代运算，然后找出Cost Function最小时所对应的K值，这个值往往能较好的描述有多少个簇类。 
2. K-Means算法对初始选取的聚类中心点是敏感的，不同的随机种子点得到的聚类结果完全不同 
3. K均值算法并不是很所有的数据类型。它不能处理非球形簇、不同尺寸和不同密度的簇，银冠指定足够大的簇的个数是他通常可以发现纯子簇。 
4. 对离群点的数据进行聚类时，K均值也有问题，这种情况下，离群点检测和删除有很大的帮助。

下面对初始质心的选择进行讨论：

拙劣的初始质心

当初始质心是随机的进行初始化的时候，K均值的每次运行将会产生不同的SSE,而且随机的选择初始质心结果可能很糟糕，可能只能得到局部的最优解，而无法得到全局的最优解。如下图所示：

可以看到程序迭代了4次终止，其得到了局部的最优解，显然我们可以看到其不是全局最优的，我们仍然可以找到一个更小的SSE的聚类。

随机初始化的局限

你可能会想到：多次运行，每次使用一组不同的随机初始质心，然后选择一个具有最小的SSE的簇集。该策略非常的简单，但是效果可能不是很好，这取决于数据集合寻找的簇的个数。

关于更多，参考《数据挖掘导论》

K-Means优化算法

为了克服K-Means算法收敛于局部最小值的问题，提出了一种二分K-均值(bisecting K-means)

bisecting K-means

算法的伪代码如下：

将所有的点看成是一个簇
当簇小于数目k时
    对于每一个簇
        计算总误差
        在给定的簇上进行K-均值聚类,k值为2
        计算将该簇划分成两个簇后总误差
    选择是的误差最小的那个簇进行划分

完整的Python代码如下：

def biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud):
    m = shape(dataSet)[0]
    # 这里第一列为类别，第二列为SSE
    clusterAssment = mat(zeros((m,2)))
    # 看成一个簇是的质心
    centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0]
    centList =[centroid0] #create a list with one centroid
    for j in range(m):    #计算只有一个簇是的误差
        clusterAssment[j,1] = distMeas(mat(centroid0), dataSet[j,:])**2

    # 核心代码
    while (len(centList) < k):
        lowestSSE = inf
        # 对于每一个质心，尝试的进行划分
        for i in range(len(centList)):
            # 得到属于该质心的数据
            ptsInCurrCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:]
            # 对该质心划分成两类
            centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas)
            # 计算该簇划分后的SSE
            sseSplit = sum(splitClustAss[:,1])
            # 没有参与划分的簇的SSE
            sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1])
            print "sseSplit, and notSplit: ",sseSplit,sseNotSplit
            # 寻找最小的SSE进行划分
            # 即对哪一个簇进行划分后SSE最小
            if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE:
                bestCentToSplit = i
                bestNewCents = centroidMat
                bestClustAss = splitClustAss.copy()
                lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit

        # 较难理解的部分
        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) #change 1 to 3,4, or whatever
        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit
        print 'the bestCentToSplit is: ',bestCentToSplit
        print 'the len of bestClustAss is: ', len(bestClustAss)
        centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]#replace a centroid with two best centroids 
        centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])
        clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss#reassign new clusters, and SSE
    return mat(centList), clusterAssment

下面对最后的代码进行解析：

      bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) #change 1 to 3,4, or whatever
      bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit

这里是更改其所属的类别，其中bestClustAss = splitClustAss.copy()是进行k-means后所返回的矩阵，其中第一列为类别，第二列为SSE值，因为当k=2是k-means返回的是类别0，1两类，因此这里讲类别为1的更改为其质心的长度，而类别为0的返回的是该簇原先的类别。

举个例子： 
例如：目前划分成了0，1两个簇，而要求划分成3个簇，则在算法进行时，假设对1进行划分得到的SSE最小，则将1划分成了2个簇，其返回值为0，1两个簇，将返回为1的簇改成2，返回为0的簇改成1，因此现在就有0，1，2三个簇了。

  centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]#replace a centroid with two best centroids 
        centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])
        clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss#reassign new clusters, and SSE

其中bestNewCents是k-means的返回簇中心的值，其有两个值，分别是第一个簇，和第二个簇的坐标(k=2)，这里将第一个坐标赋值给 centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0],将另一个坐标添加到centList中 centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])

运行与结果

>>> from numpy import *
>>> import kMeans
>>> dat = mat(kMeans.loadDataSet('testSet2.txt'))
>>> cent,assment=kMeans.biKmeans(dat,3)
sseSplit, and notSplit:  570.722757425 0.0
the bestCentToSplit is:  0
the len of bestClustAss is:  60
sseSplit, and notSplit:  68.6865481262 38.0629506357
sseSplit, and notSplit:  22.9717718963 532.659806789
the bestCentToSplit is:  0
the len of bestClustAss is:  40

可以看到进行了两次的划分，第一次最好的划分是在0簇，第二次划分是在1簇。 
可视化如下图所示：

Mini Batch k-Means

在原始的K-means算法中，每一次的划分所有的样本都要参与运算，如果数据量非常大的话，这个时间是非常高的，因此有了一种分批处理的改进算法。 
使用Mini Batch（分批处理）的方法对数据点之间的距离进行计算。 
Mini Batch的好处：不必使用所有的数据样本，而是从不同类别的样本中抽取一部分样本来代表各自类型进行计算。n 由于计算样本量少，所以会相应的减少运行时间n 但另一方面抽样也必然会带来准确度的下降。