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  • SPFA 算法详解

    适用范围:给定的图存在负权边,这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地,而Bellman-Ford算法的复杂度又过高,SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路,即最短路径一定存在。当然,我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序,以判断是否存在负权回路,但这不是我们讨论的重点。

    算法思想:我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值,用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法:设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止

    期望的时间复杂度O(ke), 其中k为所有顶点进队的平均次数,可以证明k一般小于等于2。

    实现方法:

      建立一个队列,初始时队列里只有起始点,再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径(该表格的初始值要赋为极大值,该点到他本身的路径赋为0)。然后执行松弛操作,用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路,如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。

    判断有无负环:
      如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)

    首先建立起始点a到其余各点的
    最短路径表格

    首先源点a入队,当队列非空时:
     1、队首元素(a)出队,对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有b,c,d三个点),此时路径表格状态为:

    在松弛时三个点的最短路径估值变小了,而这些点队列中都没有出现,这些点
    需要入队,此时,队列中新入队了三个结点b,c,d

    队首元素b点出队,对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有e点),此时路径表格状态为:

    在最短路径表中,e的最短路径估值也变小了,e在队列中不存在,因此e也要
    入队,此时队列中的元素为c,d,e

    队首元素c点出队,对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有e,f两个点),此时路径表格状态为:

    在最短路径表中,e,f的最短路径估值变小了,e在队列中存在,f不存在。因此
    e不用入队了,f要入队,此时队列中的元素为d,e,f

     队首元素d点出队,对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有g这个点),此时路径表格状态为:

    在最短路径表中,g的最短路径估值没有变小(松弛不成功),没有新结点入队,队列中元素为f,g

    队首元素f点出队,对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有d,e,g三个点),此时路径表格状态为:

    在最短路径表中,e,g的最短路径估值又变小,队列中无e点,e入队,队列中存在g这个点,g不用入队,此时队列中元素为g,e

    队首元素g点出队,对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有b点),此时路径表格状态为:

    在最短路径表中,b的最短路径估值又变小,队列中无b点,b入队,此时队列中元素为e,b
    队首元素e点出队,对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有g这个点),此时路径表格状态为:

    在最短路径表中,g的最短路径估值没变化(松弛不成功),此时队列中元素为b

    队首元素b点出队,对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有e这个点),此时路径表格状态为:

    在最短路径表中,e的最短路径估值没变化(松弛不成功),此时队列为空了

    最终a到g的最短路径为14

     (⊙v⊙)嗯! 代码:

     1 #include
     2 #include
     3 #include 
     4 using namespace std;
     5 
     6 const int MAXN=1001;
     7 const int INF=999999;
     8 
     9 int map[MAXN][MAXN];//记录权值 
    10 int path[MAXN];//记录路径 
    11 int dis[MAXN];//记录最短值 
    12 int team[MAXN];//队列 
    13 bool visit[MAXN];//是否在队列中 
    14 int n,m,u,v,len,a,e;
    15 
    16 void sc(int u)//求最短路径 
    17 {
    18     int head=0,tail=1,p;
    19     team[head]=u;//队列的第一个为起点 
    20     path[u]=u;//路径为起点 
    21     visit[u]=true;//标记为已在队列中 
    22     dis[u]=0;//起点的权值为0 
    23     while(headdis[p]+map[p][i])//松弛
    24             {
    25                 dis[i]=dis[p]+map[p][i]; 
    26                 path[i]=p;
    27                 if(!visit[i])//如果不在队列中,重新入队 
    28                 {
    29                     team[tail++]=i;
    30                     visit[i]=true;//标记已为在队列中 
    31                 }
    32             }
    33         }
    34         visit[p]=false;//将p标记为没在队列中 
    35         head++;//head后移,head所指向的元素依次出队 
    36     }
    37     cout<=1;i--)//输出路径 
    38     {
    39         if(i!=1)//避免最后一个路径带有--> 
    40         cout<";
    41         else 
    42         cout<>n>>m;
    43     for(int i=1;i<=n;i++)//初始化 
    44       for(int j=1;j<=n;j++)
    45         map[i][j]=INF;
    46     for(int i=1;i<=m;i++){
    47         cin>>u>>v>>len;
    48         map[u][v]=len;
    49     }
    50     for(int i=1;i<=n;i++)
    51     dis[i]=INF;
    52     memset(visit,false,sizeof(visit));
    53     memset(team,0,sizeof(team));
    54     cin>>a>>e;//输入查找的起点和终点 
    55     sc(a);
    56     out(a,e);
    57     return 0;
    58 }

       ps:可以用邻接表实现,效率更高,邻接矩阵容易炸空间。。。

    自己选的路,跪着也要走完!!

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/wsdestdq/p/6697605.html
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