同余 扩展欧几里得

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求：关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

下面证明中“→”表示等价于，“≡”表示同余，“/”表示向下取整。

∵ Ax ≡ 1 (mod m) → Ax mod m = 1 mod m

∴ 可表示 Ax = By + 1 → Ax - By = 1 即 求解x?

根据欧几里得扩展：

    Ax + By = C = gcd(A, B)

 ∵ gcd(A, B) = gcd(B, A mod B)

 ∵ Bx’ + (A mod B)y’ = gcd(B, A mod B)

 ∴ Bx’ + (A mod B)y’ = gcd(A, B)

 ∴ Bx’ + (A - A/B * B)y’ = gcd(A, B)

 → Bx’ + Ay’ - B*(A/B)y’ = gcd(A, B)

 → Ay’ + B(x’ - (A/B)*y’) = gcd(A, B)

 ∴ x = y’, y = x’ -(A/B)*y’

 前提是： Ax + By = gcd(A, B) 中，当B = 0 时，有x = 1,y = 0成立，证毕！

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
//辗转相除法 
int ou(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=ou(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y,y=temp-a/b*y;
    return ans;
}

int main()
{
    int a1,b1,x1,y1;
    cin>>a1>>b1;
    int orz=ou(a1,b1,x1,y1);
    while(x1<0)
    {
        x1+=(b1/orz);
    }
    cout<<x1<<endl;
    return 0;
}

∵ Ax + By = C

  当 x = x’ + B, 且 y = y’ - A

  A(x’ + B) + B(y’ - A) = C

 → Ax’ + A*B + By’ - A*B = C

 → Ax’ + By’ = C

 ∴ 得出，原式不变。

扩展欧几里得：

扩展欧几里得算法：

找出一对整数（x，y），使得ax+by=gcd（a，b）

gcd（a，b）=gcd（b，a%b） 欧几里得定理

∴a x1 + b y1 = b x2 + （a%b）y2

∴a x1 + b y1 = b x2 + [a-（a/b）*b] y2 在整除意义下，a%b=a-（a/b）*b

∴a x1 + b y1 = b x2 + a y2 - b*（a/b）y2 右边展开

∴a x1 + b y1 = a y2 + b [x2 - （a/b）y2] 右边合并同类项

根据恒等定理得，x1 = y1 ，y1 = x2 - （a/b）y2

递归求解

边界条件：gcd（a，0）= 1 * a - 0 * 0 = a

void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b) {d=a;a=1;y=0;}
    else {gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}

结论1：

设a，b，c 为任意整数。若 方程a x + b y = c 的一组整数解为（x0，y0）,
（前提：方程有解）
则它的任意整数解都可以写成（x0 + k b’，y0 - k a’）。
其中a’=a / gcd（a，b） b’=b / gcd（a，b），k取任意整数

证明：

由扩展欧几里得可以求出a x + b y = gcd （a，b）的一组解（x1，y1），
任取另外一组解 （x2，y2）

∴ a x1 + b y1 = a x2 + b y2

∴ a （x1 - x2） = b（y2 - y1）

令 a’= a / gcd（a，b） b’=b / gcd（a，b），那么 （a’，b’）= 1

∴ a’（x1 - x2） = b’ （y2 - y1）

∴ b’能整除（x1 - x2）

令 （x1 - x2） = k b’

则 （y2 - y1）= k a’

∴ x2 = x1 - k b’     y2 = k a’ + y1

推倒过程并没有用到 a x + b y 的 右边是什么 ，所以结论1 成立

结论1的前提是方程有解，那么什么情况下方程才有解？

对于方程 a x + b y = c  

由上面已经推导出了 若 c=gcd（a，b），那么方程一定有解 （x，y）

若c！=gcd（a，b）

①、c是gcd（a，b）的倍数，令 c=gcd（a，b）*d

那么 （ a x + b y）/d = c /d = a * x / d + b * y / d = gcd （a，b） 方程有解（x’，y’）

x’ = x / d，y’ = y / d    ∴x’=x c / g   y’ = y c / g   

②、c不是gcd（a，b）的倍数，那么无解

所以，结论2：

 设a，b，c 为任意整数，g = gcd （a，b），方程 a x + b y = g 的一组解是 （x0，y0），

则当 c 是 g 的倍数时，ax + by = c 的一组解是 （x0 c / g ，y0 c / g）

自己选的路，跪着也要走完！！！