模线性方程 poj2115

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long ret=exgcd(b,a%b,x,y);
    long long tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return ret;
}

int main()
{
    long long a,b,c,k,x,y;
    while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&c,&k)!=EOF)
    {
        if(a==0&&b==0&&c==0&&k==0)
            break;
        long long n=(long long)1<<k;
        long long e=exgcd(c,n,x,y);
        if((b-a)%e)
            cout<<"FOREVER"<<endl;
        else
        {
            long long t=n/e;
            x = (x  * (b - a) / e % t + t) % t;
            cout<<x<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

题意不难理解，只是利用了 k位存储系统 的数据特性进行循环。

例如int型是16位的，那么int能保存2^16个数据，即最大数为65535（本题默认为无符号），

当循环使得i超过65535时，则i会返回0重新开始计数

如i=65534，当i+=3时，i=1

其实就是 i=(65534+3)%(2^16)=1

有了这些思想，设对于某组数据要循环x次结束，那么本题就很容易得到方程：

x=[(B-A+2^k)%2^k] /C

即 Cx=(B-A)(mod 2^k)  此方程为 模线性方程，本题就是求X的值。

下面将结合《算法导论》第2版进行简述，因此先把上面的方程变形，统一符号。

令a=C  

  b=B-A 

  n=2^k

那么原模线性方程变形为：

 ax=b (mod n)

该方程有解的充要条件为 gcd(a,n) | b ，即 b% gcd(a,n)==0

令d=gcd(a,n)

有该方程的 最小整数解为 x = e (mod n/d)

其中e = [x0 mod(n/d) + n/d] mod (n/d) ，x0为方程的最小解

那么原题就是要计算b% gcd(a,n)是否为0，若为0则计算最小整数解，否则输出FOREVER