前缀和

一、什么是前缀和

前缀和的思路是这样的，对于一个给定的数组 nums，我们额外开辟一个前缀和数组进行预处理：

 

int n = nums.length;
// 前缀和数组
int[] preSum = new int[n + 1];
preSum[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
preSum[i + 1] = preSum[i] + nums[i];

　这个前缀和数组 preSum 的含义也很好理解，preSum[i] 就是 nums[0..i-1] 的和。那么如果我们想求 nums[i..j] 的和，只需要一步操作 preSum[j+1]-preSum[i] 即可，而不需要重新去遍历数组了。

回到这个子数组问题，我们想求有多少个子数组的和为 k，借助前缀和技巧很容易写出一个解法：

 

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        //先求数组前缀和
        vector<int> presum;
        int sum=0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            sum += nums[i];
            presum.push_back(sum);
        }
        int res=0;
        //1 3 6
        for(int i=0;i<presum.size();i++){
            if(presum[i] == k){
                res++;
            }
            for(int j=i+1;j<presum.size();j++){
                if(presum[j]-presum[i] == k){
                    res++;
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

这个解法的时间复杂度 O(N^2) 空间复杂度 O(N)，并不是最优的解法。不过通过这个解法理解了前缀和数组的工作原理之后，可以使用一些巧妙的办法把时间复杂度进一步降低。

二、优化解法

前面的解法有嵌套的 for 循环：

第二层 for 循环在干嘛呢？翻译一下就是，在计算，有几个 j 能够使得 sum[i] 和 sum[j] 的差为 k。毎找到一个这样的 j，就把结果加一。

我们可以把 if 语句里的条件判断移项，这样写：

 

if (sum[j] == sum[i] - k)

　　ans++;

优化的思路是：我直接记录下有几个 sum[j] 和 sum[i] - k 相等，直接更新结果，就避免了内层的 for 循环。我们可以用哈希表，在记录前缀和的同时记录该前缀和出现的次数。

 

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        //前缀和且优化时间复杂度
        //key为前缀和sum[i],value为前缀和sum[i]的个数,即找sum[j]-k在map中的个数
        map<int,int> presum;
        int sum = 0,res = 0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            sum+=nums[i];
            if(sum == k) res++;
            res+= presum[sum-k];
            presum[sum]++;
        }
        return res;
    }
};