动态规划之最长公共子序列

动态规划法：

　　经常会遇到复杂问题不能简单的分成几个子问题，因而会分出一系列子问题。简单的采用把大问题分解成子问题，并综合子问题解导出大问题的方法，问题求解耗时会按着指数幂级数增加。为了节约重复求相同的子问题的时间，引入一个数组，不管他们是否对最终解有帮助，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划采用的基本方法。

　　问题：求两个字符序列的最长公共子序列。字符序列指的是从给定字符序列中随意地(不一定连续)去掉若干个字符（可能一个也去不掉）后所形成的子字符串。

令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
vector<vector<int>> LCS(string &s1, string &s2 ,int &len)
{
    int len1 = s1.size(), len2 = s2.size();
    vector<vector<int>> c(len1+1, vector<int>(len2+1,0));
    vector<vector<int>> b(len1+1, vector<int>(len2+1,0));
    for (int i = 0; i <= len1; i++)
        c[i][0] = 0;
    for (int j = 0; j <=len2; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(int i=1;i<=len1;i++)
        for (int j = 1; j <=len2; j++)
        {
            if (s1[i-1] == s2[j-1])
            {
                c[i][j] = 1 + c[i - 1][j - 1];
                b[i][j] = 0;
            }
            else if (s1[i-1] != s2[j-1])
            {
                if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
                {
                    c[i][j] = c[i - 1][j];
                    b[i][j] = 1;//记录是由哪个子问题求得的解。
                }
                else
                {
                    c[i][j] = c[i][j-1];
                    b[i][j] = -1;
                }
            }
        }
    len = c[len1][len2];
    return b;
}


void PrintLCS(vector<vector<int>>& b, string& s1, int len1, int len2)
{
    if (len1 == 0 || len2 == 0)
        return;
    if (b[len1][len2] == 0)
    {
        PrintLCS(b, s1, len1-1, len2 - 1);
        cout << s1[len1 - 1];
    }
    else if (b[len1][len2] == 1)
        PrintLCS(b, s1, len1 - 1, len2 );
    else
        PrintLCS(b, s1, len1 , len2 - 1);
}
int main()
{
    string s1 = "ABCBDAB";
    string s2 = "BDCABA";
    int len = 0;
    vector<vector<int>> b;
    b = LCS(s1,s2,len);
    cout << len;
    PrintLCS(b,s1,s1.size(),s2.size());
}