线性DP之最大和问题

【最长子序列和】

问题定义：对于给定序列 a1,a2,a3……an 寻找它的某个连续子段，使得其和最大。

模板：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 110;
const int inf=0x3f3f3f3f;

int main()
{
    int a[maxn], n;
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        cin>>a[i];
    }
    int dp[maxn];
    dp[0] = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        dp[i]=max(dp[i-1]+a[i], a[i]);///状态转移方程，表示以第i个数结尾的连续子序列的最大和
    }
    int maxs = -inf;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(maxs<dp[i])
            maxs=dp[i];
    }
    cout<<maxs<<endl;
    return 0;
}

【数字三角形】

给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。
 
对于给定的由n行数字组成的数字三角形，计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。

模板：

/* */
# include <bits/stdc++.h>
# include <iostream>
# include <cstdio>
# define Max(a, b)(a>b?a:b)
using namespace std;

int main()
{
    long long int a[101][101];
    int D[101][101];
    int n, i, j;
    scanf("%d", &n);
    for( i=1; i<=n; i++ )
    {
        for( j=1; j<=i; j++ )
        {
            scanf("%d", &D[i][j]);
        }
    }
    for( i=1; i<=n; i++ )
    {
        a[n][i] = D[n][i];
    }
    for( i=n-1; i>=1; i-- )
    {
        for( j=1; j<=i; j++ )
        {
            a[i][j] = max(a[i+1][j], a[i+1][j+1]) + D[i][j];
        }
    }
    printf("%lld
", a[1][1]);
    return 0;
}

【最大子矩阵和】

我们都知道在一维情况下求最大连续子序列和的操作：

for(int i=1;i<=n;i++){
    dp[i]=max(a[i],dp[i-1]+a[i]);
}

那么该怎么推广到二维情况下呢：（比如样例）

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

步骤：

（1）求矩阵大小是1*k（k=1,2,3,4）

可以发现就是求每行的最大连续子序和

0 -2 -7 0  （ans=0,矩阵为[0]）

9 2 -6 2  （ans=11,矩阵为[9 2]）

……

（2）求矩阵大小是2*k（k=1,2,3,4）

这时我们可以在第1,2行或2,3行或3,4行找最大矩阵

对于矩阵：

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

来说，最大矩阵是

 

因为我们取的是矩阵，肯定是竖着一列都取的，不可能这一列取到第i个元素，上一列取到第i-1个元素，这样我们就可以把要求的两行，两两加起来

9 0 -13 2

这样求出的最大连续子序和是9，这个结果也就是这个矩阵对应的最大矩阵和。

同理把

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

和

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

也分别加起来，三种情况下求出的最大值，就是2*k大小矩阵的最大值

（3）同理，我们求3*k，4*k

模板：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 110;

int a[maxn][maxn];///原矩阵
int b[maxn][maxn];///b[i][j]表示从某一行加到第j行第k列的列项和
int dp[maxn];///dp[i]表示以i列为结尾的最大矩阵和
int mx=0, n;

void solve(int j){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i] = max(b[j][i], dp[i-1]+b[j][i]);
        mx = max(mx,dp[i]);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){///从第i行开始加
        memset(b,0,sizeof(b));
        for(int j=i;j<=n;j++){///加到第j行
            for(int k=1;k<=n;k++){///第j行各列的值
                b[j][k] = a[j][k]+b[j-1][k];
            }
            solve(j);
        }
    }
    printf("%d
",mx);
    return 0;
}