Codeforces Round #609 (Div. 2)E--K Integers（贪心+二分+树状数组+逆序对）

K Integers

参考博客：https://blog.csdn.net/Q755100802/article/details/103664555

【题意】

给定一个1到n的排列，可以交换相邻的两个元素。

现在定义一个函数f(x)，表示在原排列中，通过交换操作，形成一个1,2,3....x的排列的子串，需要的最小操作步骤。

子串意味着这个排列必须是相邻的。现在你需要求出f(1)，f(2)，f(3)......f(n)。

【分析】

在1~x这几个元素相邻的情况下，因为最后排列不存在逆序对，根据贪心思想，每一次操作都消除一对逆序对，这样每一次操作才不会浪费，所以，相邻的答案就是逆序对的个数。

不相邻的情况，如何移动才能使操作步数最少呢？答案应该是先将i个元素移动到一块儿，变成相邻的情况，再交换逆序对，这样才是最优的，（即答案为逆序对个数+往中间凑所移动的最小步数）因为这样操作，对于中间的每个不是当前排列的元素，他只会越来越往外面走，而不是混在i个元素中，造成操作的浪费。首先我们将所有元素移动到一块儿，移动到哪儿合适呢？位置mid应该是左右两边的元素个数尽量相等，这样我们就可以二分中间位置mid了；

然后，我们需要计算将元素尽量向中间点mid移动的花费，我们可以分为两部分：mid左边的部分，设个数为cnt(可以用树状数组O(log)求），假设cnt=2，如下图：

 

pos2移动到mid，需要花费mid-pos2；pos1移动到mid-1，需要花费mid-pos1-1；

如果还有pos3，pos4，花费也是同样计算的。假设位置pos之和为sum，花费为

 

这就是左边的花费。

右边的同理，尽量往mid+1这个位置移动，假设右边的所有位置之和为sum，个数为cnt，花费为

 AC_Code:

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+10;
using namespace std;
#define lowbit(i) ((i)&(-i))
ll n,cnt,invnum,num,t;
ll sum1[maxn],sum2[maxn],pos[maxn];

void updata(ll sum[],int i,int k){
    while( i<=n ){
        sum[i]+=k;
        i+=lowbit(i);
    }
}

ll getsum(ll sum[],int i){
    ll res=0;
    while( i ){
        res+=sum[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return res;
}

ll bs(ll le,ll ri,ll num){
    ll mid;
    while(le<=ri){
        mid=(le+ri)>>1;
        if( getsum(sum1,mid)*2<=num ){      //注意我们是按顺序插入1~i,getsum(sum1,mid)就是问mid位置及以前的位置之前有几个数,
                                            //我们要的情况是mid前后个数均分的情况
            le=mid+1;
        }
        else ri=mid-1;
    }
    return le;
}

signed main()
{
    scanf("%lld",&n);
    invnum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&t);
        pos[t]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        updata(sum1,pos[i],1);
        
        //pos[i]:i的位置,1~i【共有i个已经插入的数】的位置已经加1了,getsum(sum1,pos[i])i的位置的前面有几个加了1,
        //也就是有几个比i小的数在i的前面,这几个数是不构成逆序数的
        //那么剩下的就是i-query(pos[i])就是i所造成的逆序数
        invnum+=(i-getsum(sum1,pos[i]));    //求逆序数
        updata(sum2,pos[i],pos[i]);
        ll l=1,r=n;
        ll mid=bs(l,r,i);                   //二分找位置
        ll ans=0;
        cnt=getsum(sum1,mid);               //左边的个数
        num=getsum(sum2,mid);               //左边的位置和
        ans+=invnum;
        ans += mid*cnt-num-cnt*(cnt-1)/2;

        cnt=i-cnt;                          //右边的个数
        num=getsum(sum2,n)-num;             //右边的位置和,前缀和思想
        ans += num-cnt*(mid+1)-cnt*(cnt-1)/2;
        printf("%lld ",ans);
    }
    printf("
");
    return 0;
}