一：莫比乌斯函数
定义：μ 为莫比乌斯函数，定义为
[mu left ( n
ight )=left{egin{matrix}
1 & n=1 \
0& n含有平方因子\
left ( -1
ight ) ^{k} & n=p_{1}p_{2}p_{3}cdots p_{k}
end{matrix}
ight.]
性质1：
[sum_{d|n}mu left ( d
ight )=left{egin{matrix}
1 & n=1\
0 & n
eq 1
end{matrix}
ight.]
即(sum_{d|n}mu left ( d ight )=varepsilon left ( n ight ))，即(mu *1 = varepsilon)
性质2：
[sum_{d|n}frac{mu left ( d ight )}{d} = frac{phi left ( n ight )}{n}]
反演结论：
[left [ gcdleft ( i,j ight )=1 ight ]Leftrightarrow sum_{d|gcdleft ( i,j ight )}mu left ( d ight )]
根据定义：线性筛莫比乌斯函数
1 bool prime[maxn]; 2 int Prime[maxn],mu[maxn],tot; 3 void get_mu(){ 4 memset(prime,true,sizeof(prime)); 5 prime[0]=prime[1]=false; 6 tot=0; 7 8 mu[1]=1; 9 for(int i=2;i<=n;i++){ 10 if( prime[i] ) Prime[++tot]=i,mu[i]=-1; 11 for(int j=1;j<=tot&&i*Prime[j]<=n;j++){ 12 prime[i*Prime[j]]=false; 13 if( i%Prime[j]==0 ){ 14 mu[i*Prime[j]]=0; 15 break; 16 } 17 mu[i*Prime[j]]=-mu[i]; 18 } 19 } 20 }
二：莫比乌斯反演
约数公式：
设 (fleft ( n ight ),gleft ( n ight )) 为两个数论函数
如果有[fleft ( n ight )=sum_{d|n}gleft ( d ight )]
那么有[gleft ( n ight )=sum_{d|n}mu left ( d ight )fleft ( frac{n}{d} ight )]
证明：已知(f=g*1)，则(f*mu =g*1*mu Rightarrow f*mu =gleft ( 其中1*mu =varepsilon ight ))
倍数公式：
设 (fleft ( n ight ),gleft ( n ight )) 为两个数论函数
如果有[fleft ( n ight )=sum_{n|d}gleft ( d ight )]
那么有[gleft ( n ight )=sum_{n|d}mu left ( frac{d}{n} ight )fleft ( d ight )]