树的重心入门

• 树的重心：对于一棵(n)个结点的无根树，找到一个点，使得把树变成以该点为根的有根树树时，最大子树的结点数最小。 删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。
• 性质：
  • 性质 1 ：树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个重心，他们的距离和一样。
  • 性质 2 ：把两棵树通过某一点相连得到一颗新的树，新的树的重心必然在连接原来两棵树重心的路径上。
  • 性质 3 ：一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
  • 性质 4：一棵树最多有两个重心，且相邻。
• 模板详解：核心(dfs)代码

• ll minl=inf,ans;
  /*
  sz数组表示以当前节点为根,向下的子树的节点数目
  dp数组表示以当前节点为根,子树中最大节点数目是多少
  */
  
  void dfs(int u,int fa){
      sz[u]=1;
      for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt){
          int v=edge[i].to;
          if( v!=fa ){//无向图,不加这个会成环
              dfs(v,u);
              sz[u]+=sz[v];//回溯加一下
              dp[u]=max(dp[u],sz[v]);//每次遍历完一棵子树都比较
          }
      }
      
      dp[u]=max(dp[u],n-sz[u]);//不要忽略向上的节点个数,比较完之后便是当前节点的最大子树节点
      if( minl>dp[u]){
          minl=dp[u];
          ans=u;
      }
  }

• 入门例题：here
  • 题意：求删除这个点后最大子树的节点数，以及这个点的编号，如果有多个点满足，求编号最小的点。
  • AC_Code:

  • #include <iostream>
    #include <string.h>
    #include <stdio.h>
    
    using namespace std;
    const int maxn = 20005;
    const int inf = 0x3f3f3f3f;
    
    int head[maxn];
    int sz[maxn];
    int cnt,n;
    int ans,siz;
    
    struct Edge{
        int to;
        int nxt;
    };
    
    Edge edge[2*maxn];
    
    void Init(){
        cnt=0;
        siz=inf;
        memset(head,-1,sizeof(head));
    }
    
    void add(int u,int v){
        edge[cnt].to = v;
        edge[cnt].nxt = head[u];
        head[u] = cnt++;
    }
    
    void dfs(int u,int fa)
    {
        sz[u]=1;
        int tmp=0;
        for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt){
            int v=edge[i].to;
            if(v!=fa){
                dfs(v,u);
                sz[u]+=sz[v];
                tmp=max(tmp,sz[v]);
            }
        }
        tmp=max(tmp,n-sz[u]);
        if(tmp<siz || (tmp==siz && u<ans)){
            ans=u;
            siz=tmp;
        }
    }
    
    int main()
    {
        int t;
        scanf("%d",&t);
        while(t--){
            Init();
            scanf("%d",&n);
            for(int i=1;i<=n-1;i++){
                int u,v;
                scanf("%d%d",&u,&v);
                add(u,v);add(v,u);
            }
            dfs(1,0);
            printf("%d %d
    ",ans,siz);
        }
        return 0;
    }