POJ1276 多重背包（01背包 完全背包）

POJ1276

题目

　　多重背包模板题，给定背包容量(V)，给定(N)种物品，每种物品的个数(n_i)、体积(v_i)和重量(w_i)已知，求背包能装下的物品的最大重量。对应本题就是，给定提款的金额cash，给定(N)种钱币，每种钱币的个数为(n_i)、面额(D_i)已知，求能兑换的钱币的最大值。本题中，体积和重量都等于面额。

Sample Input

735 3  4 125  6 5  3 350
633 4  500 30  6 100  1 5  0 1
735 0
0 3  10 100  10 50  10 10

Sample Output

735
630
0
0

算法思路

　　刚开始的想法是直接转化为01背包问题来解，即将第(i)种物品换成(n_i)件01背包中的物品，则得到了物品数为(sum{n_i})的01背包问题，直接求解复杂度为(mathcal{O}(Vsum{n_i}))，测试表明会TLE。

　　需要对以上的朴素想法进行优化。将第(i)件物品参考二进制的思想来拆分，即拆分乘若干件01背包中的物品，每件物品的系数分别为(2^0, 2^1, 2^2,cdots,2^{k-1},n_i-2^k+1)，(k)是满足(n_i-2^k+1>0)的最大整数。例如，若(n_i=13)，则可以拆分为系数分别为(1,2,4,6)四件物品。拆分的核心出发点就是，原先的(1cdots n_i)之间的任意整数都能用相应的系数组合而成。这样的话，复杂度就可以降低为(mathcal{O}(Vsum{lceil log{n_i} ceil}))。

　　另外，若(n_i imes v_i>V)时，针对物品(i)可以看作完全背包问题，可以用完全背包的复杂度为(mathcal{O}(NV))算法求解物品(i)。

代码

直接转化为01背包求解

Result: TLE

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

int cash, N;
int denominations[10 * 1000 + 5];
int opt[100000 + 5];

int main() {
	while (scanf("%d", &cash) != EOF) {
		memset(opt, 0, sizeof(opt));
		scanf("%d", &N);
		int n, D, ptr = 1;
		for (int i = 1; i <= N; i++)
		{
			scanf("%d %d", &n, &D);
			for (int j = 1; j <= n; j++)
				denominations[ptr++] = D;
		}
		for (int i = 1; i < ptr; i++)
			for (int j = cash; j >= denominations[i]; j--)
				opt[j] = std::max(opt[j], opt[j - denominations[i]] + denominations[i]);
		printf("%d
", opt[cash]);
	}
	return 0;
}

二进制转化+完全背包优化

　　程序中01背包和完全背包都优化了空间复杂度，只需要定义opt为一维数组即可。二维数组opt到一维数组opt的空间优化没那么好理解，加一点注解。

　　01背包状态转移方程：

[egin{equation} opt[i][j] = max(opt[i-1][j], opt[i-1][j-v_i] + w_i) end{equation} ]

　　对于ZeroOnePack函数的注解：
　　若外层正处于第i次循环，内层循环中，j逆序减小，计算opt[j]的值时，opt[j]、opt[j-cost]存储都是i-1次循环的值，即分别对应于(1)式中的(opt[i-1][j])、(opt[i-1][j-v_i])。而如果j正序增大的话，计算opt[j]时，opt[j-cost]已经赋过值，存储是i次循环的值，与状态转移方程不符。

　　完全背包状态转移方程：

[egin{equation} opt[i][j] = max(opt[i-1][j], opt[i][j-v_i] + w_i) end{equation} ]

　　对于CompletaPack函数的注解：
　　若外层正处于第i次循环，内层循环中，j正序增大，计算opt[j]的值时，opt[j]存储的是i-1次循环的值，即对应(2)式中的(opt[i - 1][j])。opt[j-cost]在本次循环中已经赋过值，存储的是第i次循环的值，对应于(2)式中的(opt[i][j-v_i])，与状态转移方程相符。opt[j] = std::max(opt[j], opt[j - cost] + weight)这个表达式表示，我正在考虑是否往背包中加一件物品i，而(opt[i][j-v_i])中可能已经包含了若干件物品i，现在考虑是否再增加物品i，所以这一点上可以反映完全背包每种物品有无穷多的性质，也正是CompletePack正确的原因。
　　
Result: 700kB, 32ms

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

int cash, N;
int opt[100000 + 5];

void CompletaPack(int cost, int weight) {//原理见上文注解
	for (int j = cost; j <= cash; j++)
		opt[j] = std::max(opt[j], opt[j - cost] + weight);
}

void ZeroOnePack(int cost, int weight) {//原理见上文注解
	for (int j = cash; j >= cost; j--)
		opt[j] = std::max(opt[j], opt[j - cost] + weight);
}

void MultiplePack(int cost, int weight, int num) {
	if (cost * num >= cash) {
		CompletaPack(cost, weight);
		return;
	}
	int k = 1;
	while (k < num) {//二进制拆分物品
		ZeroOnePack(k * cost, k * weight);
		num -= k;
		k *= 2;
	}
	ZeroOnePack(num * cost, num * weight);
	return;
}

int main() {
	while (scanf("%d", &cash) != EOF) {
		memset(opt, 0, sizeof(opt));
		scanf("%d", &N);
		int num, denomination;
		for (int i = 1; i <= N; i++)
		{
			scanf("%d %d", &num, &denomination);
			MultiplePack(denomination, denomination, num);
		}
		printf("%d
", opt[cash]);
	}
	return 0;
}

参考：

[1] 背包问题九讲 2.0