欧拉函数

欧拉函数

定义：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 

比如：n = 8 时，有 1,3,5,7 与它互质，所以 φ(8) = 4

函数计算公式：φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) ，其中p1,p2,...,pn位n的质因子

易知，如果n为质数，一定有 φ(n) = n-1

函数的几个性质：

1、φ(1)=1

2、φ(pk)=pk−pk−1=(p−1)⋅pk−1，其中p为质数

3、φ(mn)=φ(m)⋅φ(n)，其中gcd(m,n)=1

欧拉定理：

   若为正整数，且互素（即），则  。

   换种说法就是 a^ φ(n) % n 恒等于 1. 

      特别的，当n是质数的时候，上式就变成了 ，它也叫费马小定理，但它是个单向定理，不能用这个同余证n是质数。

原根：

在时，定义对模的指数   为使  成立的最小的正整数。由欧拉定理知  一定小于等于  ，

若，则称是模的原根。

m的原根个数正好为φ(φ(m)) （在m是素数情况下进一步知原根的个数是φ(m-1) ）

例：poj-1284  http://poj.org/problem?id=1284

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define N 1000005
int p[N];
void fun(){ //素数表
    int i, j, k;
    memset(p, 0, sizeof(p));
    p[1] = 1;
    for(i=2; i<=sqrt(N); i++){
        for(j=2; j<=N/i; j++){
            p[i*j] = 1;
        }
    }
}
int oula(int n){
    int i, j, r, a;
    r = n;
    a = n;
    for(i=2; i<=sqrt(n); i++){
        if(!p[i]){
            if(a%i==0){
                r = r/i * (i-1);
                while(a%i==0)
                    a /= i;
            }
        }
    }
    if(a>1)
        r = r/a*(a-1);
    return r;
}

int main(){
    int n;
    while(cin>>n){
       // cout<<oula(oula(n))<<endl; //一般情况
        cout<<oula(n-1)<<endl; //n为奇素数时
    }
    return 0;
}