简单的取拿游戏
一堆石子（或者其它的什么东西），下面是简单的取拿游戏规则：
两名玩家，称为 I 和 II；
有一堆石子，一共 21 个；
一次移动操作包括取走 1 个，2 个，或者 3 个石子，至少得取走 1 个，至多取走 3 个。
玩家 I 先开始，交替取，不可不取。
取走最后一个石子的获胜。
我们可以反向推导。
如果只有 1 个，2 个或者 3 个石子留下，那么下一个将要移动的玩家获胜。
如果有 4 个留下，当前这个玩家取走后留下的石子数必然是 1 个，2 个或者 3 个，这样另一个玩家必胜，因此 4 对于将要开始移动的玩家而言是必败的局面，而对前一个玩家而言是必胜的局面。
如果有 5，6，7 个留下，玩家必须得给对方留下 4 个才能保证自己获胜。
如果有 8 个留下，那么下一个玩家必须留下 5，6，7 个，这样先前那个玩家获胜。
很容易发现，0，4，8，12，16 是我们希望留下的局面，我们希望状态尽可能向这些局面转化。由于本题起初是 21 个石子，由于 21 不是 4 的倍数，因此第一个玩家必然会赢，它只要留下的石子数是 4 的倍数对方就必然输。
这便是 bash 博弈。
P 态和 N 态
在前面的游戏中，0，4，8 等对于先前的玩家（Previous）而言是胜利的局面，称为 P 态。而 1，2，3，5，6，7，9，10，11.。。等对下一个玩家（Next）是胜利的局面，称为 N 态。
在这种无偏组合游戏中，可以从结尾倒推来找出 P 态和 N 态。
（1）、标志结尾局面为 P 态；
（2）、标志能达到 P 态的为 N 态；
（3）、找到那些能达到 N 态的为 P 态；
（4）、如果能找到更多的 P 态，转到（2）；不然转到（3）。
很容易看到向 P 态移动会获胜，从一个 P 态开始，你的对手只能移动到 N 态，然后你再移动到 P 态，最终游戏在 P 态终结。
P 态和 N 态有几个特点：
（1）、所有的终结状态都是 P 态；
（2）、从每个 N 态开始，至少有一步能移到 P 态；
（3）、从每个 P 态开始，每一步的移动都是 N 态。
减法游戏
和上面的取石子游戏类似，假定有一个整数 n，两个玩家轮流从整数中减去一个数 s，其中 s 的取值来自集合 S，对于上面的取石子游戏，S = {1，2，3}。让我们通过类似的倒推找出 P 态。假定 S = {1，3，4}。容易发现 P 态集合是 {0，2，7，9，14，16，。。。}。所有态势集合形成一个循环节，长度为 7。
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... position P N P N N N N P N P N N N N P ...