简述:
n的序列,两人轮流从两端取数,
两人都选择最优策略,求两人的得分之差
分析:
一开始觉得是一道博弈
但是可以用dp解决的
这就和Tyvj上的硬币游戏有异曲同工之妙
因为只能取一个连续的区间
所以剩下的一定是原序列中的一个连续区间
这就指引我们往区间dp的方向上想
设计状态:f[i][j]表示现在剩下i~j的序列,先手的最高得分
f[i][j]=sum(i,j)-min{f[i+1][j],f[i+2][j],…,f[j][j],f[i][j-1],f[i][j-2],…,f[i][i],0}
注意,0表示先手全部取走
最后答案是
f[1][n]-(sum(1,n)-f[1][n])
时间复杂度O(n^3)
tip
当面前只有一个数的时候,必须取
//这里写代码片
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int INF=1e9;
const int N=110;
int n;
int sum[N];
int f[N][N];
void dp()
{
int i,j,k;
memset(f,0,sizeof(f));
for (int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=sum[i]-sum[i-1]; //必须取数
for (int i=n;i>=1;i--)
for (int j=i+1;j<=n;j++)
{
int minn=0;
for (k=i;k<j;k++)
{
minn=min(minn,f[i][k]);
minn=min(minn,f[k+1][j]);
}
f[i][j]=sum[j]-sum[i-1]-minn;
}
printf("%d
",f[1][n]-(sum[n]-f[1][n]));
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
while (n)
{
sum[0]=0;
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&sum[i]),sum[i]+=sum[i-1];
dp();
scanf("%d",&n);
}
return 0;
}
然而
我们还可以让时间复杂去更优一点
我们发现转移的时候,min值的计算是很有规律的
所以我们记
g1[i][j]=min{f[i][j],f[i+1][j],f[i+2][j],…,f[j][j]}
g2[i][j]=min{f[i][j],f[i][j-1],f[i][j-2],…,f[i][i]}
转移就变成了:
f[i][j]=sum(i,j)-min{g1[i+1][j],g2[i][j-1],0}
不要忘了0
g1和g2的转移也很好维护
g1[i][j]=min(g1[i+1][j],f[i][j])
g2[i][j]=min(g2[i][j-1],f[i][j])
这样优化之后,时间复杂度就降到了n^2
void dp()
{
int i,j,k;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
f[i][i]=sum[i]-sum[i-1];
g1[i][i]=f[i][i];
g2[i][i]=f[i][i];
}
for (i=n;i>=1;i--)
for (j=i+1;j<=n;j++)
{
int minn=0;
minn=min(minn,g1[i+1][j]);
minn=min(minn,g2[i][j-1]);
f[i][j]=sum[j]-sum[i-1]-minn;
g1[i][j]=min(g1[i+1][j],f[i][j]);
g2[i][j]=min(g2[i][j-1],f[i][j]);
}
printf("%d
",f[1][n]-(sum[n]-f[1][n]));
}