bzoj1597 [Usaco2008 Mar]土地购买（斜率）

Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

Input
第1行: 一个数: N
第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output
第一行: 最小的可行费用.

Sample Input
4
100 1
15 15
20 5
1 100

输入解释:

共有4块土地.

Sample Output
500

HINT
FJ分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和 15x15 plot. 每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

分析：
一开始觉得这好像是一道中规中矩的斜率优化
于是我就开始画柿子
f[i]=min{f[j]+max(len[j]~len[i])*max(wid[j]~wid[i])}
一开始我simple得认为，这个maxlen（长）和maxwid（宽）
可以通过RMQ搞一搞，
但是在画柿子的时候好像就不行了

这时候再次读题，我才发现，
ta没有要求一定要按照顺序购买
可以打乱土地的顺序

那么这就是一道不这么套路的斜率优化dp了
我们先把所有土地排序：
长为第一关键字，宽为第二关键字，
长单调递增，宽单调递减

所以我们先排序
但是仅仅这样还不够

如果一块土地的长比另一块小，宽小于等于另一块的宽

那么ta对于答案就是没有影响的，我们可以

直接把这一块删掉

解释一下：

• 这块土地如果和ta旁边的土地一起购买的话
  ta的长宽对价格是没有影响的
• 如果单独购买的话，购买排在ta前后的土地还要花钱
  单独购买花的钱就要多于分组购买了

综上所述，ta一定是被分到某一组购买，这种情况下ta对答案没有影响
所以直接删除

完成这些操作后，我们就可以保证所有的长单调不降，宽单调不升
这样我们就消除了计算maxlen和maxwid的烦恼了

现在我们的式子变成了这样
f[i]=min{f[j]+len[i]*wid[j+1]}

这样就可以斜率优化了

1.维护双端队列
2.转移时从队首转移：队中依次有a,b,c等元素，
如果g[b][a] < len[i]，a出队，直到g[x][y]>=len[i]
从y转移
3.入队时：队中依次有a,b,c等元素，待入队元素为d
如果g[d][c] < g[c][b] ，c出队
直到g[d][x]>=g[x][y] ，d入队

tip

我在预处理的时候手残写错一个变量名
WA了几次。。。STO

这里写代码片
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

const int N=50010;
ll f[N];
int n,tot=0,q[N],tou,wei;
struct node{
    ll x,y;
};
node b[N],a[N];

int cmp(const node &a,const node &b)
{
    if (a.x!=b.x) return a.x<b.x;
    else return a.y>b.y;
}

double get(int j,int k)
{
    double x1=(double)f[j]-f[k];
    double x2=(double)a[k+1].y-a[j+1].y;
    return (double)x1/x2;
}

void doit()
{
    tou=wei=0;
    int i,j;
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        while (tou<wei&&get(q[tou+1],q[tou])<a[i].x) tou++;
        f[i]=f[q[tou]]+a[i].x*a[q[tou]+1].y;
        while (tou<wei&&get(i,q[wei])<get(q[wei],q[wei-1])) wei--;
        q[++wei]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld",&b[i].x,&b[i].y);
    sort(b+1,b+1+n,cmp);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        while (tot&&b[i].y>=a[tot].y) tot--;
        tot++;
        a[tot]=b[i];
    }
    n=tot;
    doit();
    return 0;
}