cv3123 高精度练习之超大整数乘法（FFT）

题目描述 Description

给出两个正整数A和B，计算A*B的值。保证A和B的位数不超过100000位。

输入描述 Input Description
读入两个用空格隔开的正整数

输出描述 Output Description
输出A*B的值

样例输入 Sample Input
4 9

样例输出 Sample Output
36

数据范围及提示 Data Size & Hint
两个正整数的位数不超过100000位

分析：
先抛开大整数
我们发现如果是两个多项式
（形如a0*x^0+a1*x^1+a2*x^2+a3*x^3+…+an*x^n）
两个多项式相乘模拟的就是乘法竖式
这道题中大整数的位数上了6位数
如果暴力相乘，就是N^2的复杂度，显然jj
那我们就需要一种快速计算类似多项式乘法的算法
FFT！！！
我们把两个整数抽象成多项式的系数
套FFT模板就可以了

tip

在存储大整数的时候
要倒序存储，因为我们在进行FFT的时候
模板也是规定a[i]记录x^i的系数
明显就是要我们根据幂从小到大存储

因为最后答案是一个数
我们在计算FFT的时候每一位上的系数可以>=10
但是十进制数字不行啊
所以要处理一下进位

这里写代码片
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

const int N=2000010;
const double pi=acos(-1.0);
struct node{
    double x,y;
    node (double xx=0,double yy=0)
    {
        x=xx;y=yy;
    }
};
node a[N],b[N],omega[N],a_omega[N];
int n,m,fn,num[N];
char c[N>>1];

node operator +(const node &a,const node &b){return node (a.x+b.x,a.y+b.y);}
node operator -(const node &a,const node &b){return node (a.x-b.x,a.y-b.y);}
node operator *(const node &a,const node &b){return node (a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}

void init(int n)
{
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        omega[i]=node(cos(2.0*pi*i/n),sin(2.0*pi*i/n));
        a_omega[i]=node(cos(2.0*pi*i/n),-sin(2.0*pi*i/n));
    }
}

void FFT(int n,node *a,node *w)
{
    int i,j=0,k;
    for (i=0;i<n;i++)
    {
        if (i>j) swap(a[i],a[j]);
        for (int l=n>>1;(j^=l)<l;l>>=1);
    }
    for (i=2;i<=n;i<<=1)
    {
        int m=i>>1;
        for (j=0;j<n;j+=i)
            for (k=0;k<m;k++)
            {
                node z=a[j+k+m]*w[n/i*k];
                a[j+k+m]=a[j+k]-z;
                a[j+k]=a[j+k]+z;
            }
    }
}

int main()
{
    scanf("%s",&c);
    n=strlen(c)-1;
    for (int i=0;i<=n;i++) a[n-i].x=(double)(c[i]-'0');  //逆序存储，在多项式中也是从次数低到次数高存储 
    scanf("%s",&c);
    m=strlen(c)-1;
    for (int i=0;i<=m;i++) b[m-i].x=(double)(c[i]-'0');
    fn=1;
    while (fn<=m+n) fn<<=1;
    init(fn);
    FFT(fn,a,omega);
    FFT(fn,b,omega);
    for (int i=0;i<=fn;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(fn,a,a_omega);
    for (int i=0;i<=fn;i++) num[i]=(int)(a[i].x/fn+0.5);
    for (int i=0;i<=fn;i++)
    {
        num[i+1]+=num[i]/10;
        num[i]%=10;
    }
    int len=m+n+1; while (num[len]==0) len--;
    for (int i=len;i>=0;i--) printf("%d",num[i]);
    return 0;
}