java算法：树与二叉树

java算法：树

树是一种数学抽象，它在算法设计和分析中起着重要的作用：使用树来描述算法的动态特性，构建和使用明确的数据结构是树的具体实现。

在计算机应用中，树结构的一种最熟悉的应用是用来组织文件系统。

树的类型：树，有根的树，有序树，M叉树和二叉树。

二叉树是特殊类型的有序树，有序树是特殊类型的有根树，而有根树又是特殊类型的树。不同类型的树自然出现在不同的应用中。

二叉树是一个外部结点或者连接到一对二叉树的内部结点，那对二叉树称为那个结点的左子树和右子树。

class Node{
    Item item;
    Node l;
    Node r;
    Node(Item item, Node l, Node r){
        this.item = item;
        this.l = l;
        this.r = r;
    }
}

class Node{
	Item item;
	Node l;
	Node r;
	Node(Item item, Node l, Node r){
		this.item = item;
		this.l = l;
		this.r = r;
	}
}

表示沿着树向下移动的操作，但不能有效实现要求从孩子移到双亲的操作，可以在每个结点增加第三个指针，指向双亲。

一棵M叉树或者一个外部结点，或者连接到M棵树的有序序列的内部结点。

通常把M叉树中的结点表示为具有M个命名指针的结构，或具有M个指针的数组。

一棵树（有序树）是一个连到一序列不相交树的结点，这样的一种树序列称为森林。

有序树和M叉树之间的区别在于有序树中的结点可有任何数目的孩子，而M叉树中的结点必须有M个孩子。

由于有序树中的每个结点都有任何数目的指针，所以使用链表。每个结点包含两个指针，指向兄弟的链表和孩子的链表。

在二叉树和有序森林之间存在一对一的对应。

一棵有根树（无序树）是连到一个多集合的有根树的一个结点（根），这个的一个多集合称为无序森林。

图是由一个顶点集和一边集构成的，边连接了不同结点对。

每一棵树都是一幅图，如果G有N-1条边且没有回路，且是连通的，G中每一对顶点正好有一条简单路径把它们连起来，G是连通的，但如果删除任一条边，则它不是连通的，就是树。

在研究算法的时候，考虑树的一些基本性质，是很有必要的。

java算法：二叉树

在算法设计中，二叉树是比较频繁使用的，理解好它的性质，二叉树也是一种数据结构。

有N个内部结点的二叉树有N+1个外部结点。

证明：二叉树没有内部结点，N = 0， 外部结点为1，成立。当N > 0，任何有N个内部结点的二叉树，左子树有k个内部结点，右子树有N - K - 1个内部结点，k 在 0 与 N - 1之间， 因为根是内部结点，通过假设，左子树有k + 1个结点，右子树有N - k个外部结点，总共有 N + 1个外部结点。

有N个内部结点的二叉树有2N个指针：N-1个指针指向内部结点，N+1个指针指向外部结点。

在任何有根树中，除了跟之外，每个结点都有唯一的双亲，每条边都把一个结点连接到它的双亲结点上，所以连接内部结点的指针有N-1个。类似的，N+1个外部结点中的每一个都有一个指针，指向它唯一的双亲。

树中一个结点的层次比它的双亲结点的层次要高一层（根在0层）。树的高度是树中结点层次的最大值。树的路径长度是树中所有结点层次之和。二叉树的内部路径长度是树中所有内部结点的层次之和。二叉树的外部路径长度是树中所有外部结点的层次之和。

计算树的路径长度的一个快捷方法是对多所有的k，对k与层次k上的结点树之积求和。

对于很多递归计算，对应树的高度就是递归的最大深度，或者支持计算所需要的栈的大小。

具有N个内部结点的任何二叉树的外部路径长度比内部路径长度大2N。

具有N个内部结点的二叉树的高度至少是lgN，至多是N-1。

最坏的情况只有一个叶子的退化树，从根到这个叶子有N-1个指针。最好的情况是一棵平衡树，在每一层i上都具

有2的i次方个内部结点（除了低层之外），如果高度是h，则必须有：

2^h-1<N+1<2^h

这个等式说明：最好情况下的高度刚好等于对lgN四舍五入得到的最近的整数值。

具有N个内部结点的二叉树的内部路径长度至少是Nlg(N/4)，至多是N(N-1)/2。

二叉树广泛的应用在计算机中，当二叉树完全平衡时，性能是最好的。

注意：内部结点，外部结点；根，叶子；双亲，结点，孩子，兄弟，叶子。