小白详细讲解快速幂--杭电oj2035-A^B

Problem Description

求A^B的最后三位数表示的整数。
说明：A^B的含义是“A的B次方”

 Input

输入数据包含多个测试实例，每个实例占一行，由两个正整数A和B组成（1<=A,B<=10000），如果A=0, B=0，则表示输入数据的结束，不做处理。

 Output

对于每个测试实例，请输出A^B的最后三位表示的整数，每个输出占一行。

　　简单的说这题就是要求高次幂，有两种方法可以实现。

　　第一总比较土鳖，每次乘完对1000取余也可以过。

　　我要讲的是第二种听起来很高大上的方法——快速幂。为什么叫快速幂呢？因为用它求幂非常快，对于x^n,复杂度为O（logn），是不是很吊！快速幂的原理是把幂分解，把一个很大的幂分解成较小的几部分。例如：

11的二进制是1011

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1

因此，我们将a¹¹转化为 

即把n化为2进制数，每个为1的位都是较小的一部分。这样可以用一个循环来解决。下面是快速幂的非递归代码，暂时忽略max

int cal(int x, int n, int max){

　　int sum = 1;　　　　//最后输出的结果
　　while (n > 0){　　　//当幂降为0是结束
　　if (n & 1)　　　　　　//位运算，&是按位与，当两边都为1，表达式为1，这个是用来判断二进制数最后一位是否为1，这里n是以二进制的形式比较的

　　　　sum = sum*x%max;//如果为1，sum就要乘x^i,i为该位在二进制数中的位置
　　n >>= 1;　　　　　　//>>为位运算符，右移一位，即去掉已经计算过的部分
　　x = x*x%max;　　　　//用来标记记录x^2^i,循环i次即去掉了i位,当第i+1位为1时，sum就要乘x^2^i;
　　}
　　return sum;//循环结束返回结果。
}

　　现在来讲max的作用，用来把数变小的，我们可以想象如果是很大的数的很高次方，乘几次后数据非常大无法用任何一个基本数据类型表示，而且这也是不必要的，通常我们只需要知道最后若干位的值，这就可以用到取余了，余数的幂和原数的幂在余数的位数上是相同的，所以每次进行乘法运算后都要取余，当然如果数据很小也可以不用取余。

　　好了，感觉我已经讲的很详细了！！真的是尽力了。。。

下面贴上上面那题的代码

#include<iostream>
using namespace std;

int cal(int x, int n, int max){
    int sum = 1;
    while (n > 0){
        if (n & 1)
            sum = sum*x%max;
        n >>= 1;
        x = x*x%max;
    }
    return sum;
}
int main(){
    int x, n;
    while ((cin >> x >> n) && (x || n)){
        cout << cal(x, n, 1000) << endl;
    }
    return 0;
}