动态规划算法

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斐波纳契数列F(n)

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F(n)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89

递归 vs 动态规划

递归版本（太慢）:

int f(int n)
{
    if(n <= 1) return 1;
    else return f(n-1)+f(n-2);
}

动态规划版本（有效率!算法复杂度是 O(n)）：

int a[1000];
int f(int n)
{
    a[0]=a[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)
        a[i]=a[i-1]+a[i-2];
    return a[n];
}

方法概要

构造一个公式，它表示一个问题的解是与它的子问题的 解相关的公式.   E.g.  F(n) = F(n-1) + F(n-2).

为这些子问题做索引 ，以便它们能够在表中更好的存储与检索 (i.e., 数组array[])

以自底向上的方法来填写这表格; 首先填写最小子问题的解.

这就保证了当我们解决一个特殊的子问题时, 可以利用比它更小的所有可利用的 子问题的解.

动态规划算法原理

算法思想:

将待求解的问题分解成若干个子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，并由子问题的解得到原问题的解。

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。

动态规划算法的基本要素：最优子结构性质和重叠子问题。

原理：

最优子结构性质：问题的最优解包含着它的子问题的最优解。即不管前面的策略如何，此后的决策必须是基于当前状态（由上一次决策产生）的最优决策。

重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些问题被反复计算多次。对每个子问题只解一次，然后将其解保存起来，以后再遇到同样的问题时就可以直接引用，不必重新求解。

解决问题的基本特征：

1. 动态规划一般解决最值（最优，最大，最小，最长……）问题；

2. 动态规划解决的问题一般是离散的，可以分解（划分阶段）的；

3. 动态规划解决的问题必须包含最优子结构，即可以由（n－1）的最优推导出n的最优

解决问题的基本步骤:

动态规划算法的4个步骤：

1. 刻画最优解的结构特性. （一维，二维，三维数组）

2. 递归的定义最优解. （状态转移方程）

3. 以自底向上的方法来计算最优解.

4. 从计算得到的解来构造一个最优解.

举例实战

例题一.   斐波纳契数列F(n)

步骤1：用F（n）表示在斐波纳契数列中第n个数的值；

步骤2：状态转移方程：

步骤3：以自底向上的方法来计算最优解

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F(n)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89

步骤4：在数组中分析构造出问题的解；

例题二.   输入n，求出n！

步骤1：用F（n）表示n！的值；

步骤2：状态转移方程：

步骤3：以自底向上的方法来计算最优解

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F(n)	1	1	2	6	24	120	720

例题三：排队买票问题

一场演唱会即将举行。现有n个歌迷排队买票，一个人买一张，而售票处规定，一个人每次最多只能买两张票。假设第i位歌迷买一张票需要时间Ti（1≤i≤n），队伍中相邻的两位歌迷（第j个人和第j+1个人）也可以由其中一个人买两张票，而另一位就可以不用排队了，则这两位歌迷买两张票的时间变为Rj，假如Rj<Tj+Tj+1，这样做就可以缩短后面歌迷等待的时间，加快整个售票的进程。现给出n, Tj和Rj，求使每个人都买到票的最短时间和方法。

分析：

如果前i个人买票的最优买票方式一确定，比如第i-1个人买一张票，则前i-1个人的买票方式也一定是最优的。即问题的最优解包含子问题的最优解。

步骤1：用F（i）表示前i个人买票的最优方式，即所需最短时间；现在要决定F(i)需要考虑两种情况：

（1）第i个人的票自己买

（2）第i个人的票由第i-1个人买

步骤2：状态转移方程：

步骤3：以自底向上的方法来计算最优解

程序的实现（伪代码）：

BuyTicks(T, R)
1    n ← length[T] 
2    f[0] ← 0
3    f[1] ← T[1]
4    for i ← 2 to n do 
5                 f[i] ← f[i-2]+R[i-1]
6                 if  f[i] > f[i-1]+T[i] then 
7                     f[i] ← f[i-1]+T[i]
8    return f