有一类与数位有关的区间统计问题。这类问题往往具有比较浓厚的数学味道，无法暴力求解，需要在数位上进行递推等操作。这类问题往往需要一些预处理，这就用到了数位DP。
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基础知识
[l,r] 意为 l<=且<=r的数
[l,r) 意为 l<=且< r的数
(l,r] 意为 l<且<=r的数
(l,r) 意为 l<且< r的数
其实方括号意味着取等，小括号意味着不取等
经常需要统计区间[l,r]的满足题意的数的个数，这往往可以转换成求[0,r]-[0,l)。对于求区间[0,n)有一个通用的方法：
对于一个小于n的数，肯定是从高位到低位出现某一位<n对应的那一位。
如 n = 58 n为十进制数。
x = 49 此时x的十位<n的十位
x = 51 此时x的个位<n的个位
有了上述性质，我们就可以从高到低枚举第一次<n对应位是哪一位。这样之前的位确定了，之后的位就不受n的限制即从00...0~99...9，可以先预处理，然后这时就可以直接统计答案。
预处理f数组F[i,st] 代表位数为i（可能允许前导0。如00058也是个5位数），状态为st的方案数。这里st根据题目需要确定。
如 i=4，f[i,st] 也就是0000~9999的符合条件的数的个数（十进制），决策第i位是多少(such as 0~9)
F[i,st] = F[i,st] + f[i–1,st'] st'为相对应的状态
实例应用
HDU2089
Problem Description 杭州人称那些傻乎乎粘嗒嗒的人为62（音：laoer）。 杭州交通管理局经常会扩充一些的士车牌照，新近出来一个好消息，以后上牌照，不再含有不吉利的数字了，这样一来，就可以消除个别的士司机和乘客的心理障碍，更安全地服务大众。 不吉利的数字为所有含有4或62的号码。例如： 62315 73418 88914 都属于不吉利号码。但是，61152虽然含有6和2，但不是62连号，所以不属于不吉利数字之列。 你的任务是，对于每次给出的一个牌照区间号，推断出交管局今次又要实际上给多少辆新的士车上牌照了。 Input 输入的都是整数对n、m（0<n≤m<1000000），如果遇到都是0的整数对，则输入结束。 Output 对于每个整数对，输出一个不含有不吉利数字的统计个数，该数值占一行位置。 Sample Input 1 100 0 0 Sample Output 80
题目大意：给定区间[n,m]，求在n到m中没有“62“或“4“的数的个数。
如62315包含62，88914包含4，这两个数都是不合法的。
0<n<=m<1000000
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> int dp[8][10]; void init() { int i, j, k; memset(dp, 0, sizeof(dp)); dp[0][0] = 1; for(i = 1; i <= 7; i++) for(j = 0; j <= 9; j++) for(k = 0; k <= 9; k++) if((j != 4) && !(j == 6 && k == 2)) dp[i][j] += dp[i-1][k]; } int solve(int n) { int len, ans, i, j; len = ans = 0; int digit[10]; init(); while(n > 0){ digit[++len] = n % 10; n /= 10; } digit[len+1] = 0; for(i = len; i; i--) { for(j = 0; j < digit[i]; j++) { if(j != 4 && !(digit[i+1] == 6 && j==2)) ans += dp[i][j]; } if(digit[i] == 4 || (digit[i] == 2 && digit[i+1] == 6)) break; } return ans; } int main() { int m, n; while(scanf("%d %d", &n, &m) && (n || m)){ printf("%d ", solve(m + 1) - solve(n)); } return 0; }
HDU3652
Problem Description A wqb-number, or B-number for short, is a non-negative integer whose decimal form contains the sub- string "13" and can be divided by 13. For example, 130 and 2613 are wqb-numbers, but 143 and 2639 are not. Your task is to calculate how many wqb-numbers from 1 to n for a given integer n. Input Process till EOF. In each line, there is one positive integer n(1 <= n <= 1000000000). Output Print each answer in a single line. Sample Input 13 100 200 1000 Sample Output 1 1 2 2
题目大意：求小于n是13的倍数且含有'13'的数的个数。
算法:
同样参照前面的思想，先预处理，再统计。
题目需要包含13，且被13整除，我们就设计状态f[i,j,k,l]代表i位数中第一位是j的，是否有包含13(k == 1 or 0)，模13余数是l的数有几个。
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<stdbool.h> int dp[10][13][2][2], digit[10]; /* dp[len][remain][mask][state] len: 长度 remain: 余数 mask: 是否包含13 state: 前缀是否为1 */ int dfs(int len, int remain, bool mask, bool state, bool fp) { int ret, fpmax, i; if(!len) //当每位数字都枚举完(即len=0)的时候，只有remain等于0，mask等于1的状态才是有效的 return remain == 0 && mask ? 1:0; if(!fp && dp[len][remain][mask][state] != -1) //没有上限并且已被访问过 return dp[len][remain][mask][state]; ret = 0; fpmax = fp ? digit[len]:9; //判断当前这个数的范围 for(i = 0; i <= fpmax; i++){ ret += dfs(len - 1, (remain * 10 + i) % 13, (mask || (state && i == 3)), i == 1, fp && i == fpmax); } if(!fp) dp[len][remain][mask][state] = ret; return ret; } int fun(int n) { int len = 0; while(n){ //将整数n分解每位依次存入数组digit digit[++len] = n % 10; n /= 10; } return dfs(len, 0, 0, 0, true); } int main() { int n; memset(dp, -1, sizeof(dp)); while(~scanf("%d", &n)){ printf("%d ", fun(n)); } return 0; }
参考资料：
《初探数位类统计问题》
《浅谈数位类统计问题》--刘聪