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  • 扩展欧几里得定理

    扩展欧几里得是在求这么一个东西:
      问:已知(a, b),求解一组(x, y)使得(xa + yb = gcd(a. b))成立。
      答:设有方程$$x_{1}b + y_{1}(a % b) = gcd(b, a % b)$$
      则$$x_{1}b + y_{1}(a - lfloor{frac{a}{b}} floor b) = gcd(b, a % b)$$
      进一步化简得:$$x_{1}b + y_{1}a - y_{1}lfloor{frac{a}{b}} floor b = gcd(b, a % b)$$
      $$y_{1}a + (x_{1} - y_{1}lfloor{frac{a}{b}} floor)b = gcd(b, a % b)$$
      因为(gcd(b, a \% b) = gcd(a, b)).
      所以$$y_{1}a + (x_{1} - y_{1}lfloor{frac{a}{b}} floor)b = gcd(a, b)$$
      因此(x = y_{1}, y = (x_{1} - y_{1}lfloor{frac{a}{b}} floor))是原式的一组合法解。
      
      同理,(x_{1}, y_{1})的求解也可以通过递归到下一层来求.因此这是一个可以递归求解的问题。例如第二层的(a_{1} = b, b_{1} = a \% b)
      因此通过不断递归求解,最后会使得当前b为0,此时(gcd(a_{n}, b_{n}) = gcd(a_{n}, 0) = a_{n}),所以令(x_{n} = 1, y_{n} = 0)即可

      代码:

    void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y)
    {
        if(!b) d = a, x = 1, y = 0;
        else exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= x * (a / b);
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/ww3113306/p/10091056.html
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