斜率优化DP
先考虑朴素DP方程，
f[i][k]代表第k个厂建在i棵树那里的最小代价，最后答案为f[n+1][3];
f[i][k]=min(f[j][k-1] + 把j+1~i的树都运到i的代价）
首先注意到“把j+1~i的树都运到i的代价”不太方便表达，每次都暴力计算显然是无法承受的，
于是考虑前缀和优化，观察到先运到下一棵树那里，等一会再运下去，和直接运下去是等效的。
设sum[i]代表1 ~ i的树都运到i的代价，
于是根据前缀和思想，猜想我们可以用1 ~ r 的代价与 1 ~ l-1的代价获取l ~ r的代价,
所以要做的就是吧1 ~ l-1 对 1 ~ r产生的贡献给算出来，然后减掉，
考虑先把1 ~ l-1的树都运到l-1,所以这部分的代价是sum[l-1],
然后再把树一次性运到r，那么代价是sum_weight[l-1] * (sum_len[r] - sum_len[l-1]);
总的重量 * 现在要再次运的路程
这里为了表示方便，用$sw$代表sum_weight,用$sl$代表sum_len;
于是用$sum[r]$ 减去这两部分代价就可以得到$l ~ r$ 的代价(把$l ~ r$的树都运到$r$)
代价(l ~ r)$ = sum[r] - sum[l-1] - sw[l-1] * (sl[r] - sl[l-1]);$
那么如何计算sum ?
也是一样的思想，用前面的推后面的，先得到前面的代价，再加上新增的代价即可
$sum[i]=sum[i-1] + swt[i-1] * len[i-1];$//len[i-1]代表i-1到i的距离
于是我们就得到了DP方程：
当$k==1$时,$f[i][k]=sum[i]$;
else
$f[i][k]=min(f[j][k-1] + sum[i] - sum[j] - sw[j] * (sl[i] - sl[j]));$
但是可以发现，由于k最大就是3，而且3必须是n+1才可以取，
而且当$k==1$时，$f[i][k]$就等于$sum[i]$，
所以考虑优化维数：
当$k==1$时，不用求，因为有$sum$了
当$k==2$时，调用的$f[j][k-1]$替换为$sum[j]$,并且还可以发现由于后面有一个$-sum[j]$,所以可以直接消掉
当$k==3$时，由于只有$n+1$可以取，所以直接在外面多写一个循环，相当于最后统计答案即可
转移方式同朴素方程
但是这样是$n^2$的DP，而$n$有20000，那怎么办呢？
考虑斜率优化。
首先我们用暴力打表可以发现，决策是单调的，
打表代码（朴素DP）：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define R register int 4 #define AC 20100 5 int n, ans; 6 int sum[AC], sum_weight[AC], sum_len[AC], f[AC]; 7 int weight[AC], len[AC]; 8 inline int read() 9 { 10 int x = 0; char c = getchar(); 11 while(c < '0' || c > '9') c = getchar(); 12 while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); 13 return x; 14 } 15 16 void pre() 17 { 18 n = read(); 19 for(R i = 1; i <= n; i ++) 20 weight[i] = read(), len[i] = read(); 21 } 22 23 void getsum() 24 { 25 for(R i = 1; i <= n + 1; i ++)//山脚的也要求 26 { 27 sum_len[i] = sum_len[i - 1] + len[i - 1]; 28 sum_weight[i] = sum_weight[i - 1] + weight[i]; 29 sum[i] = sum[i - 1] + sum_weight[i - 1] * len[i - 1]; 30 // printf("%d : %d ",i,sum[i]); 31 } 32 } 33 34 void work() 35 { 36 for(R i = 1; i <= n; i ++) 37 { 38 int tmp = 0; 39 f[i] = INT_MAX; 40 for(R j = 1;j < i;j ++) 41 { 42 if(sum[i] - sum_weight[j] * (sum_len[i] - sum_len[j]) < f[i]) 43 { 44 f[i] = sum[i] - sum_weight[j] * (sum_len[i] - sum_len[j]); 45 tmp = j; 46 } 47 } 48 printf("%d --- > %d ", tmp, i);//打表验证决策单调性 49 } 50 ans = INT_MAX; 51 for(R i = 2; i <= n; i ++)//注意应该是n+1,因为山脚是在下面 52 ans = min(ans, f[i] + sum[n + 1] - sum[i] - sum_weight[i] * (sum_len[n + 1] - sum_len[i])); 53 for(R i = 2; i <= n; i ++) printf("%d : %d ", i, f[i]); 54 printf("%d ", ans); 55 } 56 57 int main() 58 { 59 freopen("in.in", "r", stdin); 60 freopen("out.out", "w", stdout); 61 pre(); 62 getsum(); 63 work(); 64 fclose(stdin); 65 fclose(stdout); 66 return 0; 67 }
于是我们推斜率优化方程:
设有 $k < j < i$,且$j$优于$k$（相当于$j$是后面来的）,则有：
$sum[i] - sw[j] * (sl[i] - sl[j]) < sum[i] - sw[k] * (sl[i] - sl[k])$
$sw[j] * (sl[i] - sl[j]) > sw[k] * (sl[i] - sl[k])$
$sw[j] * sl[i] - sw[j] * sl[j] > sw[k] * sl[i] - sw[k] * sl[k]$
$sw[k] * sl[k] - sw[j] * sl[j] > sw[k] * sl[i] - sw[j] * sl[i]$
$sw[k] * sl[k] - sw[j] * sl[j] > sl[i] * (sw[k] - sw[j])$
$frac{(sw[k] * sl[k] - sw[j] * sl[j])} {(sw[k] - sw[j])} < sl[i]$ //注意sw[k] - sw[j]小于0，要变号
所以令$K = frac{(sw[k] * sl[k] - sw[j] * sl[j])}{(sw[k] - sw[j])}$;
则 while(head < tail && k(q[head],q[head+1]) < sum_len[i]) ++head;
while(head < tail && k(q[tail-1],q[tail]) > k(q[tail],i)) --tail;
最后上代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define R register int 4 #define AC 20100 5 int n, ans; 6 int sum[AC], sum_weight[AC], sum_len[AC], f[AC]; 7 int weight[AC], len[AC]; 8 int q[AC], head, tail; 9 inline int read() 10 { 11 int x = 0; char c = getchar(); 12 while(c < '0' || c > '9') c = getchar(); 13 while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); 14 return x; 15 } 16 17 inline double k(int x, int y) 18 { 19 double a = sum_weight[x] * sum_len[x] - sum_weight[y] * sum_len[y]; 20 double b = sum_weight[x] - sum_weight[y]; 21 return a / b; 22 } 23 24 void pre() 25 { 26 n = read(); 27 for(R i = 1; i <= n; i ++) weight[i] = read(), len[i] = read(); 28 } 29 30 void getsum() 31 { 32 for(R i = 1; i <= n + 1; i ++)//山脚的也要求 33 { 34 sum_len[i] = sum_len[i - 1] + len[i - 1]; 35 sum_weight[i] = sum_weight[i - 1] + weight[i]; 36 sum[i] = sum[i - 1] + sum_weight[i - 1] * len[i - 1]; 37 // printf("%d : %d ",i,sum[i]); 38 } 39 } 40 41 void work() 42 { 43 head=1; 44 for(R i = 1; i <= n; i ++) 45 { 46 f[i] = INT_MAX; 47 48 /*int tmp = 0; 49 f[i] = INT_MAX; 50 for(R j = 1; j < i; j ++) 51 { 52 if(sum[i] - sum_weight[j] * (sum_len[i] - sum_len[j]) < f[i]) 53 { 54 f[i] = sum[i] - sum_weight[j] * (sum_len[i] - sum_len[j]); 55 tmp = j; 56 } 57 } 58 printf("%d --- > %d ", tmp, i);//打表验证决策单调性*/ 59 60 while(head < tail && k(q[head], q[head + 1]) < sum_len[i]) ++ head; 61 int now = q[head]; 62 // printf("%d --- > %d ",now,i); 63 f[i] = sum[i] - sum_weight[now] * (sum_len[i] - sum_len[now]); 64 while(head < tail && k(q[tail - 1], q[tail]) > k(q[tail], i)) -- tail; 65 q[++tail] = i; 66 } 67 ans = INT_MAX; 68 for(R i = 2; i <= n; i ++)//注意应该是n+1,因为山脚是在下面,注意要从2开始，因为这是在枚举第2个厂在哪 69 ans = min(ans, f[i] + sum[n + 1] - sum[i] - sum_weight[i] * (sum_len[n + 1] - sum_len[i])); 70 printf("%d ", ans); 71 } 72 73 int main() 74 { 75 // freopen("in.in", "r", stdin); 76 pre(); 77 getsum(); 78 work(); 79 // fclose(stdin); 80 return 0; 81 }
---------------2018.10.12--------------优化了代码格式