幂运算

幂运算

众所周知，在NOIP系列竞赛中，会考到许多优化，而这些许多优化是由一个个简单的优化组件而来的，使整个程序的优化尽可能地达到最大，用最少的时间和空间来实现正确代码，而幂运算作为其中的一个基本我今天就来总结一下，如有不足，以后也会加勘误and Update。

幂

普遍数学上幂的意义是一个数做自乘的运算，如a的b次方意思是b个a相乘，使表示上更加简便

普通幂

C++中普通幂的代码很容易实现，这是实现代码(基本实现代码)

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    for(int i=2;i<=b;i++)
    a*=a;
    cout<<a<<endl;
    return 0;
}

快速幂

在普通幂中发现算很大的数的时候回非常地慢，我们就要想怎么优化，怎么优化呢，我们引入一组基本公式

[a^b=a^{frac{b}{2}}*a^{frac{b}{2}}(b为偶数) ]

[a^b=a^{frac{b}{2}}*a^{frac{b}{2}}*a(b为奇数) ]

我们发现这样可以利用递归解决子问题来快速地算出a的b次方，加速了运算

代码如下

#include <iostream>
using namespace std;
int a,b;
int quick_pow(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return 1;
    int t=quick_pow(a,b/2);
    if(b%2==1)
        return t*t*a;
    else
        return t*t;
}
int main()
{
    cin>>a>>b;
    cout<<quick_pow(a,b)<<endl;
    return 0;
}

或者代码也可以这样

#include <iostream>
using namespace std;
int power(int a,int b,int p)
{
	int ans=1%p;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		ans=(long long)ans*a%p;
		a=(long long)a*a%p; 
        b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int a,b,p;
	cin>>a>>b>>p;
	cout<<power(a,b,p)<<endl;
	return 0;	
} 

特殊情况下算2的n次幂可以直接

[1<<n ]

矩阵快速幂

矩阵快速幂是一个对于矩阵的快速幂

你还不知道什么是矩阵吗？（快速查看：矩阵）

矩阵快速幂是对于矩阵乘法的自己多次相乘的快速运算

和普通快速幂差不多，只是把‘*’换成了一个mul函数

代码如下

mat mul(mat x,mat y)
{
	mat c;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		c.m[i][j]=0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			for(int k=1;k<=n;k++)
			c.m[i][j]=(c.m[i][j]%mod+(x.m[i][k]*y.m[k][j])%mod)%mod;
		}
	}
	return c;
}

因为要返回一个数组，所以为了方便，我们新建了一个结构体，也就是mat

struct mat
{
    long long m[1005][1005];//用来存矩阵
};

这样我们在写一个类似于普通快速幂的函数就成功解决问题了

类普通快速幂函数

mat pow(mat a,long long b)
{
	mat ans=e;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

所以我们就做出来了，但是为了使整个矩阵能保持原样，这个说不清，自己去看单位矩阵，然后这就是一个巧妙的地方

for(int i=1;i<=n;i++)
	e.m[i][i]=1;

最后，矩阵快速幂的一道模板题发给大家

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lgP3390【模板】矩阵快速幂

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题目背景

矩阵快速幂

题目描述

给定n*n的矩阵A，求A^k

输入格式

第一行，n,k

第2至n+1行，每行n个数，第i+1行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素

输出格式

输出A^k

共n行，每行n个数，第i行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素，每个元素模10^9+7

输入输出样例

输入 #1

2 1
1 1
1 1

输出 #1

1 1
1 1

说明/提示

n<=100, k<=10^12, |矩阵元素|<=1000 算法：矩阵快速幂

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AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=1005;
const int mod=1000000007; 
struct mat
{
	long long m[maxn][maxn];
};
mat a,e;
long long n,p;
mat mul(mat x,mat y)
{
	mat c;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		c.m[i][j]=0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			for(int k=1;k<=n;k++)
			c.m[i][j]=(c.m[i][j]%mod+(x.m[i][k]*y.m[k][j])%mod)%mod;
		}
	}
	return c;
}
mat pow(mat a,long long b)
{
	mat ans=e;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	cin>>n>>p;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		cin>>a.m[i][j];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	e.m[i][i]=1;a
	mat s=pow(a,p);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		cout<<s.m[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

PS:在自己电脑上可能输出不了，但是在洛谷IDE上能正常运行啊

这就奇怪了，请问一下各位为什么

下集预告：单源最短路径的优化或矩阵的简单介绍