【解题报告】洛谷P5658 括号树

【解题报告】洛谷P5658 括号树

题目链接

https://www.luogu.com.cn/problem/P5658

思路

看到这道题目，我们有必要了解一下括号序列

然后不会打正解？

好，打部分分

• (f_i=i-1) 的部分

  • (n le 200)

    这一部分的分数我们可以直接打暴力，然后三个循环 (O(n^3)) 再加上一个 (O(n)) 的判断被嵌套在这三个循环里面，总共是 (O(n^4)) ，可以过掉这一部分的数据

    期望得分 20pts

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #include <cstring>
    #include <string>
    using namespace std;
    const int maxn=500005;
    int n,fa[maxn],ans;
    bool flag=true;
    char s[maxn];
    struct edge{
    	int e,next;
    }ed[maxn<<1];
    int en,first[maxn];
    void add_edge(int s,int e)
    {
    	en++;
    	ed[en].next=first[s];
    	first[s]=en;
    	ed[en].e=e;
    }
    bool check(int l,int r)
    {
    	int cnt=0;
    	for(int i=l;i<=r;i++)
    	{
    		if(s[i]=='(') cnt++;
    		else if(s[i]==')') cnt--;
    		if(cnt<0) return false;
    	}
    	if(cnt==0) return true;
    	return false;
    }
    int main()
    {
    	cin>>n;
    	scanf("%s",s+1);
    	for(int i=1;i<=n-1;i++)
    	{
    		int x;
    		cin>>x;
    		fa[i+1]=x;
    		if(fa[i+1]!=i) flag=false;
    		add_edge(i+1,x);
    		add_edge(x,i+1);
    	}
    	if(flag)
    	{
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    		{
    			int cnt=0;
    			for(int l=1;l<=i;l++)
    			{
    				for(int r=l+1;r<=i;r++)
    				{
    					if(check(l,r))
    						cnt++;
    				}
    			}
    			ans=(ans^(cnt*i));
    		}
    		cout<<ans<<'
    ';
    		return 0;
    	}
    	return 0;
    }
    

  • (n le 10^5) 的部分

    我们可以发现，实际上我们的瓶颈在于我们有一个 (n^3) 的美剧左端点，枚举右端点和一次判断，我们要完成 (10^5) 的数据，至少要达到 (O(nlogn)) 的时间复杂度，所以我们要继续优化

    根据大佬的提示，我们可以知道下面一段话

    我们发现，一个后括号如果能匹配一个前括号，假设这个前括号的前1位同样有一个已经匹配了的后括号，那么我们势必可以把当前的匹配和之前的匹配序列合并，当前的这个后括号的贡献值，其实就等于前面那个后括号的贡献值+1！

    然后我们就可以按照这个写出代码，这个结论要用手模一下

    期望得分 55pts

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #include <cstring>
    #include <string>
    #define int long long
    using namespace std;
    const int maxn=500005;
    int n,fa[maxn],ans;
    int st[maxn],don[maxn],sum[maxn],size;
    bool flag=true;
    char s[maxn];
    struct edge{
    	int e,next;
    }ed[maxn<<1];
    int en,first[maxn];
    void add_edge(int s,int e)
    {
    	en++;
    	ed[en].next=first[s];
    	first[s]=en;
    	ed[en].e=e;
    }
    bool check(int l,int r)
    {
    	int cnt=0;
    	for(int i=l;i<=r;i++)
    	{
    		if(s[i]=='(') cnt++;
    		else if(s[i]==')') cnt--;
    		if(cnt<0) return false;
    	}
    	if(cnt==0) return true;
    	return false;
    }
    signed main()
    {
    	cin>>n;
    	scanf("%s",s+1);
    	for(int i=1;i<=n-1;i++)
    	{
    		int x;
    		cin>>x;
    		fa[i+1]=x;
    		if(fa[i+1]!=i) flag=false;
    		add_edge(i+1,x);
    		add_edge(x,i+1);
    	}
    	if(flag)
    	{
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    		{
    			if(s[i]==')')
    			{
    				if(size==0) continue;
    				int t=st[size];
    				don[i]=don[t-1]+1;
    				size--;
    			}
    			else if(s[i]=='(')
    			st[++size]=i;
    		}
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    			sum[i]=sum[i-1]+don[i];
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    		ans=(ans^(i*sum[i]));
    		cout<<ans<<'
    ';
    		return 0;
    	}
    	return 0;
    }
    

• 无特殊性质

  这种情况，我们要做的是把序列上的问题转化到树上，每个结点到根的简单路径有且仅有一条，所以如果单单是对于这一条链的话，策略跟上面一样,但是我们的前一个结点就变了，上一个左括号的，也就是上面的代码中的 (t) 我们要改成 (fa[t]) 这样，然后计算每个结点对应的合法序列的个数也要改变

  那我们压进栈里面的数字怎么办啊

  我们设置了一个中间值，记录上一个左括号的位置，如果这个中间值为 (0) 的话，说明这是一个左括号，那么在栈里面加入它，如果不是 (0) 的话，判断一下栈的大小是否为 (0) ，如果不是 (0) 的话，我们就可以发现一个事情，在之前的递归中，我们一定压入了一个数，但是这个数会影响后面的答案，所以我们将这个值弹出，相当于回溯一下子

  期望得分100pts

  #include <iostream>
  #include <cstdio>
  #include <algorithm>
  #include <cstring>
  #include <string>
  #define int long long
  using namespace std;
  const int maxn=500005;
  int n,fa[maxn],ans;
  int st[maxn],don[maxn],sum[maxn],size;
  bool flag=true;
  char s[maxn];
  struct edge{
  	int e,next;
  }ed[maxn<<1];
  int en,first[maxn];
  void add_edge(int s,int e)
  {
  	en++;
  	ed[en].next=first[s];
  	first[s]=en;
  	ed[en].e=e;
  }
  
  
  void dfs(int x)
  {
  	int tmp=0;
  	if(s[x]==')')
  	{
  		if(size!=0)
  		{
  			tmp=st[size];
  			don[x]=don[fa[tmp]]+1;
  			size--;
  		}
  	}
  	else if(s[x]=='(')
  	st[++size]=x;
  	sum[x]=sum[fa[x]]+don[x];
  	for(int i=first[x];i;i=ed[i].next)
  	{
  		int e=ed[i].e;
  		dfs(e);
  	}
  	if(tmp!=0)
  	st[++size]=tmp;
  	else if(size)
  	size--;
  }
  
  bool check(int l,int r)
  {
  	int cnt=0;
  	for(int i=l;i<=r;i++)
  	{
  		if(s[i]=='(') cnt++;
  		else if(s[i]==')') cnt--;
  		if(cnt<0) return false;
  	}
  	if(cnt==0) return true;
  	return false;
  }
  signed main()
  {
  	cin>>n;
  	scanf("%s",s+1);
  	for(int i=2;i<=n;i++)
  	{
  		int x;
  		cin>>x;
  		add_edge(x,i);
  		fa[i]=x;
  	}
  	dfs(1);
  	for(int i=1;i<=n;i++)
  	ans=(ans^(i*sum[i]));
  	cout<<ans<<'
  ';
  	return 0;
  }