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  • 【解题报告】洛谷P6475 建设城市

    【解题报告】洛谷P6475 建设城市

    题目链接

    https://www.luogu.com.cn/problem/P6475

    思路

    考虑排列组合

    • 如果两个分居左右

    我们可以枚举一下两个楼房的高度,假设 (x<n<y) ,那么 (x) 左边有 (x-1) 个楼房,右边有 (n-x) 个楼房,我们设我们已经枚举 (x) 的高度到 (i,1 le i le m) ,然后左边 (x-1) 个楼房就可以从 (i) 个数字中选择递增的一段,也就是 (C_{i}^{x-1}) 。右边也是 (m-i+1) 个可选数字 我们可以选择一个递增的一段,也就是 (C_{m-i+1}^{n-x})

    同理,我们可以对 (y) 进行划分

    两个答案是 (C_{m-i+1}^{y-n-1}) , (C_i^{2n-y})

    根据乘法原理,对于每个 (i) 的方案数量就是这四个数字相乘

    答案加起来就好了

    [ans=sum_{i=1}^m (C_{i}^{x-1} imes C_{m-i+1}^{n-x} imes C_{m-i+1}^{y-n-1} imes C_i^{2n-y}) ]

    • 两个在同一边

      那就好办了,那就是他们中间都是一样高的

      答案就是 (C_m^n imes C_m^{n+x-y})

    但是,这道题目的核心并不是分析这个,这个小学生都能分析出来吧

    我们要做的最难得就是求组合数,这个组合数非常大,我们直接求肯定会炸掉吧

    即使用杨辉三角形也会复杂度爆炸吧

    所以,请循其本 (C_n^m=dfrac {n!} {m!(n-m)!})

    我们用一个阶乘,然后利用在模意义下的逆元就好了啊,我们可以用费马小定理来求逆元吧

    然后就没有然后了

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #include <cstring>
    #include <string>
    #define int long long 
    using namespace std;
    const int maxn=200005;
    const int mod=998244353;
    int m,n,x,y;
    int ans;
    int fac[maxn],ifac[maxn];
    int ksm(int a,int b)
    {
    	int res=1%mod;
    	while(b)
    	{
    		if(b&1)
    		res=res%mod*a%mod;
    		a=a%mod*a%mod;
    		b>>=1;
    	}
    	return res%mod;
    }
    int C(int m,int n)
    {
    	return fac[n+m-1]*ifac[n]%mod*ifac[m-1]%mod;
    }
    signed main()
    {
    	cin>>m>>n>>x>>y;
    	fac[0]=1;
    	for(int i=1;i<=m+n;i++)
    	fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    	ifac[m+n]=ksm(fac[m+n],mod-2);
    	for(int i=m+n-1;~i;i--)
    	ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    	if(x<=n&&y>n)
    	{
    		for(int i=1;i<=m;i++)
    		ans=(ans%mod+C(i,x-1)%mod*C(m-i+1,n-x)%mod*C(m-i+1,y-n-1)%mod*C(i,2*n-y)%mod+mod)%mod;		
    	}
    	else
    	ans=C(m,n)*C(m,n+x-y)%mod;
    	cout<<ans<<'
    ';
    	return 0;
    }
    
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