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题目描述
求所有使方程
[z=lfloorfrac{x}{2}
floor+y+xy
]
不存在正整数解 ((x,y)) 的 (z) 中，第 (n) 小的 (z) ，结果对 (10^9+7) 取模
解法
向下取整不好搞，所以想到分奇偶讨论把向下取整去掉。
- 若 (x) 是奇数，令 (x=2k+1)。则
[z=k+2y+2ky
]
试图化简
[z+1=(k+1)(2y+1)
]
其中，(k) 取遍自然数，(y) 取遍正整数，那么 (k+1) 取遍所有大于等于 (1) 的正整数，(2y+1) 取遍所有大于等于 (3) 的奇数。这个式子就说明了若 (z+1) 能分解出一个大于 (1) 的奇数，那么 (z) 就肯定不满足条件。所以 (z+1) 只能是一个 (2) 的次幂。我们表示为
[z+1=2^r
]
其中 (r) 为某个正整数。
2. 若 (x) 是偶数，令(x=2k)。则
[z=k+y+2ky
]
同上，分解因式
[2z+1=(2k+1)(2y+1)=(x+1)(2y+1)
]
其中 (x+1) 和 (2y+1) 均为大于等于 (3) 的奇数。上述式子说明了如果 (2z+1) 能写成两个大于等于 (3) 的奇数，那么 (2z+1) 就不符合条件。而 (2z+1) 本来就为一个奇数，若可以分解那么一定是两个奇数相乘。综上 (2z+1) 一定为一个奇素数。表示为
[2z+1=p
]
综合上述两条
[egin{cases}
z+1=2^r \
2z+1=p
end{cases}]
合并得
[2z+1=2^{r+1}-1=p
]
那么可以看出，(z) 便是所有 (2z+1) 是梅森素数时的值。
然后就可以从某 OEIS 复制一下数列，然后打表输出。