[2020多校联考]最大K段和

Solution

可以用WQS二分，但我不会。乱贪虽然可以过，但可惜是假的。还有一个费用流做法。

先建 (n+1) 个节点和一个源点和汇点。源点向所有点连边，所有点向汇点连边。点 (i) 向 (i+1) 连一条费用为 (a_i) 的边，跑最大费用最大流。

每次增广，实际上是选了一段的数。每次增广后，将所有在增广路上的边的边权取反。如果下次增广又增广到了这条边，那么相当于抵消了，就没选，而选了的被分成两段。所以每次增广就选了一段不相交的数。

这个算法慢在每次增广后都要暴力修改边权，所以不能直接费用流。考虑模拟费用流，然后用数据结构进行优化。事实上，我们只需要每次求出全局的最大子段和，然后累加答案，再将这个子段取反，如果最大子段已经为负或已经选了 (k) 段就直接退出。最大子段和还有其所在位置很好维护，关键在于取反。又发现取反只会有两种结果，所以在线段树中预处理每种情况。维护一个取反 tag ，取反就直接交换预处理好的 tr[0][id] 和 tr[1][id]，然后再 update 一下。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 100007
#define lid id<<1
#define rid id<<1|1
#define ll long long

inline int read(){
    int x=0,flag=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') flag=0;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
    return flag? x:-x;
}

struct Node{
    ll ls,rs,s,ans;
    int l,r,ansl,ansr;
}tr[2][N<<2];
int n,K,tag[N<<2];
ll a[N];

void update(int id){
    for(int i=0;i<=1;i++){
        /* SUM */
        tr[i][id].s=(tr[i][lid].s+tr[i][rid].s);
        /* LSUM */
        if(tr[i][lid].s+tr[i][rid].ls>tr[i][lid].ls)
            tr[i][id].ls=tr[i][lid].s+tr[i][rid].ls,tr[i][id].r=tr[i][rid].r;
        else tr[i][id].ls=tr[i][lid].ls,tr[i][id].r=tr[i][lid].r;
        /* RSUM */
        if(tr[i][rid].s+tr[i][lid].rs>tr[i][rid].rs)
            tr[i][id].rs=tr[i][rid].s+tr[i][lid].rs,tr[i][id].l=tr[i][lid].l;
        else tr[i][id].rs=tr[i][rid].rs,tr[i][id].l=tr[i][rid].l;
        /* ANS */
        tr[i][id].ans=-(1LL<<60);
        if(tr[i][lid].ans>tr[i][id].ans)
            tr[i][id].ans=tr[i][lid].ans,tr[i][id].ansl=tr[i][lid].ansl,tr[i][id].ansr=tr[i][lid].ansr;
        if(tr[i][rid].ans>tr[i][id].ans)
            tr[i][id].ans=tr[i][rid].ans,tr[i][id].ansl=tr[i][rid].ansl,tr[i][id].ansr=tr[i][rid].ansr;
        if(tr[i][lid].rs+tr[i][rid].ls>tr[i][id].ans)
            tr[i][id].ans=tr[i][lid].rs+tr[i][rid].ls,tr[i][id].ansl=tr[i][lid].l,tr[i][id].ansr=tr[i][rid].r;
    }
}

inline void pushup(int id){
    swap(tr[0][id],tr[1][id]);
    tag[id]^=1;
}

inline void pushdown(int id){
    pushup(lid),pushup(rid);
    tag[id]=0;
}

int l,r;
void modify(int id,int lf,int rf){
    if(l<=lf&&rf<=r) pushup(id);
    else{
        int mid=(lf+rf)>>1;
        if(tag[id]) pushdown(id);
        if(l<=mid) modify(lid,lf,mid);
        if(r>mid) modify(rid,mid+1,rf);
        update(id);
    }
}

void build(int id,int lf,int rf){
    if(lf==rf){
        for(int i=0;i<=1;i++){
            tr[i][id].ls=tr[i][id].rs=tr[i][id].s=tr[i][id].ans=a[lf]*(i? -1:1);
            tr[i][id].l=tr[i][id].r=tr[i][id].ansl=tr[i][id].ansr=lf;
        }
        tag[id]=0;
    }else{
        int mid=(lf+rf)>>1;
        build(lid,lf,mid);
        build(rid,mid+1,rf);
        update(id);
    }
}

int main(){
    freopen("maxksum.in","r",stdin);
    freopen("maxksum.out","w",stdout);
    n=read(),K=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    build(1,1,n);
    ll ans=0;
    while(K--){
        ll ret=tr[0][1].ans;
        if(ret<=0) break;
        ans+=ret;
        l=tr[0][1].ansl,r=tr[0][1].ansr;
        modify(1,1,n);
    }
    printf("%lld",ans);
}

/*
7 2
-1 9 -2 6 -8 1 -7
*/