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  • CF1228E Another Filling the Grid

    Solution

    不知道怎么就想到了……用 (G(x,y)) 表示恰好有 (x)(y) 行没有 (1),那么答案就是 (G(0,0))

    (F(x,y)) 表示强制有 (x)(y) 列没有 (1) ,剩下的随便填的可重方案,那么

    [F(x,y)=inom{n}{x}inom{n}{y}k^{(n-x)(n-y)} imes k^{n^2-(n-x)(n-y)} ]

    组合意义为先选 (x)(y) 列没有 (1) ,对于这选了的部分,除去不能选 (1),那么共有 ((k-1)^{n^2-(n-x)(n-y)}) 种,对于没有选的,可以随便填数。

    容易发现

    [F(x,y)=sum_{i=x}^n sum_{j=y}^n inom{i}{x}inom{j}{y}G(i,j) ]

    反演一下,得到

    [G(x,y)=sum_{i=x}^n sum_{j=y}^n (-1)^{i+j-x-y} inom{i}{x}inom{j}{y} F(i,j) ]

    代入 (x=0,y=0) ,答案即为

    [sum_{i=0}^n sum_{j=0}^n (-1)^{i+j} inom{n}{i}inom{n}{j} k^{(n-i)(n-j)} imes k^{n^2-(n-i)(n-j)} ]

    (O(n^2log n)) 暴力求解即可。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/wwlwQWQ/p/14269004.html
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