用处
处理一些位运算卷积，(O(n2^n))
[c_i=sum_{k oplus j=i} a_k imes b_j
]
大体思想
构造某种映射，使得能够 (O(nlog n)) 内得到变换，假设原数列为 ({a_n})，新数列就是 ({fwt[a]_i})。
然后知道了 ({fwt[a]_i}) 和 ({fwt[b]_i})，能 (O(n)) 得到 ({fwt[c]_i})
最后还能够 (O(nlog n)) 将 (fwt[c]_i) 变换为 (c_i)
其实和 FFT 很像，就是解析式到点值再到解析式。
构造方法
Or
构造 (fwt[a]_i=sum_{j|i=i} a_j)，也就是对 (i) 的所有子集求和。
这个构造有性质如下：
[egin{align}
fwt[a]_i imes fwt[b]_i&=sum_{j|i=i} sum_{k|i=i} a_j imes b_k \
&=sum_{(j|k)|i=i} a_j imes b_k \
&=fwt[c]_i
end{align}
]
假设现在处理完了前 (w-1) 位的 (fwt[c]_i)，考虑怎么加入第 (w) 位的贡献。如果一个数的第 (w) 位是 0 ，那么它的或卷积是不会变的，如果是 1，那么答案就要累加上最高位为 1 的卷积。然后逆变换也是类似的，只是符号反过来。
[fwt[a]_i=merge(fwt[a_0]_i,fwt[a_0]_i+fwt[a_1]_i)
]
(merge) 表拼接。
void Or(int n,ll *a,bool op){
for(int w=2,l=1;w<=n;w<<=1,l<<=1)
for(int j=0;j<n;j+=w)
for(int k=0;k<l;k++)
a[j|k|l]=(a[j|k|l]+(op? -1:1)*a[j|k]+Mod)%Mod;
}
And
与卷积与或卷积类似，有
[fwt[a]_i=merge(fwt[a_0]_i+fwt[a_1]_i,fwt[a_0]_i)
]
void And(int n,ll *a,bool op){
for(int w=2,l=1;w<=n;w<<=1,l<<=1)
for(int j=0;j<n;j+=w)
for(int k=0;k<l;k++)
a[j|k]=(a[j|k]+(op? -1:1)*a[j|k|l]+Mod)%Mod;
}
Xor
构造运算 (xotimes y=count(x&y) mod 2)
有性质
[(xotimes y) xor (xotimes z)=xotimes(y^z)
]
可以构造变换 (fwt[a]_i=sum_{iotimes j=0} a_j-sum_{iotimes j=1}a_j)
得到
[fwt[a]_i=merge(fwt[a_0]_i+fwt[a_1]_i,fwt[a_0]_i-fwt[a_1]_i)
]
逆变时要除以 2。
void Xor(int n,ll *a,ll op){
ll x,y;
for(int w=2,l=1;w<=n;w<<=1,l<<=1)
for(int j=0;j<n;j+=w)
for(int k=0;k<l;k++)
x=(a[j|k]+a[j|k|l])%Mod*op%Mod,
y=(a[j|k]-a[j|k|l]+Mod)%Mod*op%Mod,
a[j|k]=x,a[j|k|l]=y;
}