最少钱币数-1-贪心算法（错在哪里）-编程练习题（50）

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题目：

分析：

贪心算法C++代码（有问题）：

总结：

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自己保存的编程练习题，可以看这里CG-OJ系统编程练习题。

题目：

最少钱币数

问题描述	这是一个古老而又经典的问题。用给定的几种钱币凑成某个钱数，一般而言有多种方式。例如：给定了 6 种钱币面值为 2、5、10、20、50、100，用来凑 15 元，可以用 5 个 2 元、1个 5 元，或者 3 个 5 元，或者 1 个 5 元、1个 10 元，等等。显然，最少需要 2 个钱币才能凑成 15 元。         你的任务就是，给定若干个互不相同的钱币面值，编程计算，最少需要多少个钱币才能凑成某个给出的钱数。
输入形式	输入可以有多个测试用例。每个测试用例的第一行是待凑的钱数值 M（1 <= M<= 2000，整数），接着的一行中，第一个整数 K（1 <= K <= 10）表示币种个数，随后是 K个互不相同的钱币面值 Ki(1 <= Ki <= 1000)。输入 M=0 时结束。
输出形式	每个测试用例输出一行，即凑成钱数值 M 最少需要的钱币个数。如果凑钱失败，输出“Impossible”。你可以假设，每种待凑钱币的数量是无限多的。
样例输入	15 6 2 5 10 20 50 100 1 1 2 0
样例输出	2 Impossible

分析：

要想钱币数目最少，肯定紧着最大面值的钱用，当前剩余的钱数小于最大面值的钱的话就用第二大面值，以此类推，直到待凑的钱数值为0，或者不为0（则输出Impossible）。基于这种想法，算法上叫贪心算法，我们还可以每次都算一次Money除以maxCoins最大面值的钱数值，得到用几张最大钱币，余数即为剩余钱币数，这样我们只用循环钱币种数k次就能得出答案。

minCoin += money/coins[i]; //钱币数
money = money%coins[i];    //剩余钱数

然而并没有那么简单，考虑这样一组数据，例如有 1元，7元，9元，10元四种钱币的情况下，要凑18元 ，贪心算法会给出答案需要3张（10元1张，7元1张，1元1张）但是我们可以明显看出需要 2张（9元两张）足矣，显然贪心算法算出来的是错误的。那么怎么办呢，只有用动态规划算法了。详见：最少钱币数（凑硬币）详解-2-动态规划算法（初窥）-CCF-CSP练习题。为什么贪心算法有问题还贴出代码？仅供自己以后回忆参考，加深印象。

贪心算法C++代码（有问题）：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    bool cmp(int a,int b);//降序排序比较函数
    int coins[10];//硬币数目，由于题目给出不超过10种，所以我申请了10。
    int money; /*待凑钱的数值*/
    int kind;  /*钱币种类数目*/
    int minCoin =0 ;//最少钱币数
    int i;
    while(1)
    {
        minCoin = 0;//每次初始化为0
        cin >> money;     //读入待凑钱数
        if(0 == money) break; //如果为0，则退出。
        cin >> kind;          //读入拥有钱币种类数
        for(i=0; i<kind; i++)
        {
            cin >> coins[i];  //依次读入钱币种类
        }
        sort(coins,coins+kind,cmp);  //降序排序钱币种类
        for(i=0; i<kind; i++)
        {
            if(money-coins[i] >= 0)
            {
                minCoin += money/coins[i];
                money = money%coins[i];
            }
        }
        if( 0 == money )
        {
            cout << minCoin << endl;
        }else{
            cout << "Impossible" <<endl;
        }

    }
    return 0;
}

bool cmp(int a,int b) /* 降序排序比较函数，当a>b时，不交换；当a<b时交换*/
{
    return a > b;
}

总结：

这个解法在oj系统中有问题，只得了50分，剩下的每组数据有1个是错误的。所以在CCF-CSP考试时如果不会动态规划的话可以把贪心算法写上去，能骗点分数。

使用贪心算法解决凑硬币问题时，有些情况下是可以得出正解的，比如后一个钱币面值没有达到前一个钱币面值的2倍时。对于有的问题得出的解是错误的。比如有3种面值分别为3元，5元，7元的纸币，（1）那么至少用几张纸币能凑够10元？我的直觉告诉我先选面值最大的，7元一张，然后再选面值5元的时候发现超额了（7+5>10），因此我们选3元一张，最少用2张纸币就能凑够10元，这个都能想出来的方法可以叫贪心算法（每次都选当前看来最好的选择，不从整体最优考虑），（2）那么至少用几张纸币能凑够8元呢？如果还按照贪心算法来解的话会得到Impossible。因为先选一张7元，然后再选5元（7+5>8）不行，换选3元（7+3>8）还不行。但是仔细看会发现5元+3元不是8元吗，怎么会无解。所以贪心算法解这个问题是不行的。CSP考试时只能用来骗点分。

到这里我们发现用贪心算法会出现两个问题 1）本来有解用贪心法算出来却无解，例如上例（2）至少用几张纸币能凑够8元？；2）算出来的解不是最优解，例如有 1元，7元，9元，10元四种面值的纸币，要凑18元 ，贪心算法会给出答案需要3张（10元1张，7元1张，1元1张），但是我们可以明显看出 2张（两张9元）才是最优解。

那么问题出在了哪里？在这里用贪心算法是有条件的——后一个的权值（这里就是纸币面值）是前一个的2倍或以上才可以使用，这里10不到9的两倍。贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解。关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。在这里我们先选择了10元，在第二步的时候9元就选择不了了（10+9>18了），选择10元这个状态影响到选9元这个状态，所以会错过9+9这个最优解。所以说贪心算法在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，不从整体最优考虑。